Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

18 1 BÜNDEL
Beweis. Gehöre etwa [p ′ , ξ ′ ] zur selben Faser. Dann ist p ′ = pk für ein k ∈ K und
es gilt [p ′ , ξ ′ ] = [pk, ξ ′ ] = [p, kξ ′ ]. Setze also η = kξ ′ . Dabei ist k und damit η
eindeutig bestimmt, da K frei auf G operiert.
1.23 Korollar. Im Fall eines Faserbündels G× K F , wo G über G/K selbst Liegruppe
ist mit Untergruppe K, sind die lokalen Trivialisierungen ϕ F σ = (πF, k F σ) explizit
durch
gegeben.
k F σ([p, ξ]) = σ(π(p)) −1 pξ
1.5 Schnitte in homogenen Bündeln
Im Folgenden sollen noch allgemein Schnitte in einem Assoziierten Bündel und
deren Konstruktionsmöglichkeiten beschrieben werden. Der Raum aller (holomor-
phen) Schnitte φ in einem Faserbündel F = G × K F über einer Mannigfaltigkeit
M = G/K sei kurz mit
O(M, F ) = O(G/K, G× K F)
bezeichnet, wobei die Bündelstruktur des Zielraums schon anzeigen soll, dass nicht
einfache Abbildungen, sondern Morphismen, hier Schnitte, gemeint sind, die jeden
Punkt in seine Faser abbilden. Handelt es sich um ein Vektorbündel, so trägt auch
der Schnittraum O(M, F) eine lineare Struktur, die sich wie üblich aus punktweisen
Verknüpfungen ergibt – nur dass hier in jedem Punkt auch in einem je eigenen
Vektorraum addiert und skalar multipliziert wird. Die Schnitteigenschaft sorgt aber
gerade dafür, dass die punktweise Verknüpfung im selben Raum stattfindet:
(λφ + φ ′ )(o) = λ(φ(o)) + φ ′ (o).
Wir wollen zuerst eine lokale Beschreibung von Schnitten anhand der lokalen
Trivialisierungen des Bündels geben, aus der man umgekehrt eine Möglichkeiten
erhält, globale Schnitte zu konstruieren, indem lokal definierte Stücke zusam-
mengesetzt werden, die eine gewisse Übergangsbedingung erfüllen. Darüberhinaus
öffnet die homogene Struktur einen Weg, direkt – quasi von oben kommend – einen
globalen Schnitt zu erzeugen.
1.24 Proposition. Ein Schnitt φ ∈ O(G/K, G× K F) eines Assoziierten Bündels zu G mit
Strukturgruppe K und Faser F kann lokal beschrieben werden durch Abbildungen
φσ := k F σ ◦ φ = pr F ◦ϕ F σ ◦ φ ∈ O(Uσ, F) (1.16)