Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

70 4 FOCKRAUM UND HOLOMORPHE SCHNITTE
Beweis. Wir haben nur noch zu zeigen, dass diese Funktion holomorph ist. Einer-
seits ist die Determinante hier endlich und daher als Polynom holomorph. Andere-
seits ist auch die Abbildung z ↦→ zI J holomorph: Sie ist linear und beschränkt und
damit schon stetig. Um das zu sehen, schreiben wir wieder zI J = pI ◦ z ◦ jJ mit der
orthogonalen Projektion pI auf das Hilbert-Erzeugnis HI und entsprechend der Ein-
bettung jJ von HJ in H. Da Hilbert-Schmidt-Ideale Norm-Ideale sind [8], ist dann
�z I J � 2 � �pI��iJ��z� 2 � �z� 2, weil Projektion und Einbettung die Operatornorm 1
haben (oder 0, falls I beziehungsweise J leer sind). Daher ist die Operatornorm von
z ↦→ zI J durch 1 beschränkt.