Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

64 4 FOCKRAUM UND HOLOMORPHE SCHNITTE
wollen Φ definieren, indem wir zu jedem dieser Vektoren, das heißt zu jeder die-
ser Indexmengen P und Q, einen holomorphen Schnitt φ PQ als dessen Bild unter Φ
angeben. Die Einbettung Φ für ein allgemeines Element � λPQePQ des Fockraumes
mit einer L 2 -Folge von Koeffizienten λPQ ist dann gegeben durch
Φ ��
P,Q
�
λPQePQ :=
�
P,Q
λPQφPQ,
die Fortsetzung im Sinn von Orthonormalbasen. Wie schon zuvor sind die Summa-
tionen und Konvergenzen bezüglich des Netzes der endlichen Teilmengen aufzufas-
sen.
Um durch dieses Verfahren eine lineare Einbettung zu erhalten, müssen allerdings
zwei Bedingungen erfüllt sein. Erstens ist dazu notwendig, dass die Schnitte φPQ
als ein Orthonormalsystem in O(Gr2(H), Det # ) aufgefasst werden können. Da der
gesamte Schnittraum keine unitäre Struktur trägt und das Bild von Φ mit dem indu-
zierten inneren Produkt ausgestattet sein soll, heißt das nur, dass die zu konstruie-
renden Schnitte φ PQ als Bild der Basis linear unabhängig sind.
Zweitens müssen auch die unendlichen Summen, die im Erzeugnis der Orthonor-
malbasis entstehen, holomorph sein. Interpretieren wir nach Bemerkung 4.5 die
konstruierten Schnitte als Elemente eines Bergmannraumes, so ist klar, dass die
Reihen weiterhin holomorph sind, da die holomorphen Funktionen in L 2 eine abge-
schlossene Unteralgebra bilden [3, Seite 364]. Allerdings gilt diese Aussage nur für
endlich-dimensionale Räume, weshalb die Limiten nur schwach holomorph sind,
das heißt auf endlich-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten holomorph. Ob un-
endliche Summen von Schnitten φ PQ auch im starken Sinn holomorph sind, also
komplex differenzierbar bezüglich der Banachmetriken auf Det # und Gr2(H), muss
hier eine offene Frage bleiben.
Wir beginnen mit der Konstruktion einer Funktion ˜φ PQ ∈ O(G, C) zu endlichen
Mengen P ⊂ N und Q ⊂ Z \ N, die dann einen Schnitt φ PQ induziert. Die Idee
ist, in der Komponente a(g) eines Gruppenelementes g ∈ G die Zeilen, die durch
P indiziert werden, auszutauschen gegen die durch Q indizierten Zeilen aus der c-
Komponente. Dieser Prozess soll durch eine lineare Transformation t PQ beschrieben
werden. Wir werden sehen, dass t PQ g dann ein Element von G 0 ist, auf welches der
schon gefundene Schnitt φ0 aus (4.3) angewendet werden kann, so dass schließlich
sein wird.
φ PQ = det a(t PQ g)