Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

54 3 DETERMINANTENBÜNDEL
� �
a b
Ein Element k ∈ K mit der Zerlegung k = operiert auf Det E durch Multipli-
0 d
kation mit der Determinante det a ∈ C der Matrix a,
kξ = det aξ. (3.16)
Beweis. Wir haben in Proposition 3.1 bereits Taut(Gr E (B)) = GL 1 (B)× K E gezeigt,
weshalb nach Satz 3.5 gilt
Det(Gr E (B)) = Det(Taut(Gr E (B)))
= Det(GL 1 (B)× K E)
= GL 1 (B)× K Det E.
Die Operation ist ebenfalls mit Satz 3.5 gegeben durch kξ = Det(a)ξ. Aber
Det(a)ξ = det aξ.
3.3 Das duale Determinantenbündel
Zu einem Vektorbündel E über M mit endlichdimensionaler Standardfaser E, Pro-
jektion π und lokalen Trivialisierungen ϕα = (π, kα) : π −1 (Uα) −→ Uα × E kann ein
duales Vektorbündel E # konstruiert werden, dessen Fasern dual zu den Fasern von
E sind. Wir setzen
E # =
•�
E # �
o =
o∈M
o∈M
und für die Bündelprojektion des dualen Bündels
{o} × E # o
π# : E # −→ M, (o, λ) ↦→ o.
Doch ist es komplizierter, natürliche lokale Trivialisierungen zu finden, da der na-
heliegende Weg, die dualen Abbildungen zu kα heranzuziehen, wegen der Kontra-
varianz der Dualbildung zu einer Abbildung in die falsche Richtung führt. Aber
wenn wir kα auf eine Faser Eo über o ∈ M einschränken, erhalten wir einen Isomor-
phismus kα,o : Eo � E und wir können das Dual von dessen Inversen benutzen. So
bekommen wir lokale Trivialisierungen
ϕ # α : π −1
# (Uα) −→ Uα × E # , (o, λ) ↦→ (o, (k −1
α,o) # λ)
oder ϕ # α = (π, k # α) mit k # α(z, λ) = (k −1
α,o) # λ = λ ◦ k −1
α,o. Deren Umkehrabbildungen ψ # α
sind dann gegeben durch
ψ # α(o, µ) = (z, k # α,oµ),