Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

66 4 FOCKRAUM UND HOLOMORPHE SCHNITTE
Nach Lemma 4.6 ist für Indizes i von großem Betrag immer ni = i + d. Die Matri-
xeinträge des Produktes sind also weit oben und unten δi+d j+d = δi j , so dass die Matrix
nur in endlich vielen Zeilen von der Einheitsmatrix abweicht. Als invertierbarer
Operator vom Typ 1 + F gehört t PQ s d daher zu G 0 .
Daraus folgt die letzte Behauptung, da die Elemente von G d von der Form s d g sind
mit g ∈ G 0 . Multiplikation mit t PQ ergibt demnach t PQ (s d g) = (t PQ s d )g ∈ G 0 G 0 =
G 0 .
Wir können also eine Funktion ˜φ PQ auf G definieren, indem wir für g ∈ G d
˜φ PQ (g) := det a(t PQ g) (4.13)
setzen und sie auf den anderen Komponenten als konstant null definieren.
4.7 Bemerkung. Die Funktionen ˜φ PQ entsprechen in der einschlägigen Literatur
den verallgemeinerten Plücker-Koordinaten πS mit S := N \ P ∪ Q. Man vergleiche
etwa [7, Seiten 110, 115], [6] oder [5]. Dort wird der in Proposition 2.29 beschrie-
bene Zugang benutzt und eine sogenannte zulässige Basis eines Unterraumes W
bestimmt als ein Isomorphismus w : HS −→ W, wobei HS zur Orthonormalbasis der
von S indizierten Basis-Vektoren gehört. Die Plücker-Koordinate πS ist dann für
zulässige Basen definiert als
πS (w) = det(pr S ◦w),
wobei prS die orthogonale Projektion auf HS � �
bezeichnet. Eine zulässige Basis w
a
entspricht hier der ersten Matrixspalte des transformierten Operators t
c
PQg. Und
die Projektion prS findet sich dann genau in der Auswahl der Komponente a wieder.
4.8 Bemerkung. Nach Definition stimmt für die leeren Mengen P und Q die Funk-
tion ˜φ PQ mit ˜φ0 aus (4.3) überein. Allgemeiner ist ˜φ PQ = (t PQ ) ∗ ( ˜φ0). Das heißt für
g ∈ G
Gleiches gilt für die induzierten Schnitte.
˜φ PQ (g) = ˜φ0(t PQ g).
Wir haben nun zu zeigen, dass die Funktionen ˜φ PQ erstens äquivariant sind unter K,
zweitens holomorph und drittens linear unabhängig in OK(G, C). Die beiden letzten
Eigenschaften sind eigentlich für die induzierten Schnitte nachzuweisen, was aber
wegen Satz 1.29 äquivalent ist.