Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

14 1 BÜNDEL
Was die Schnitte betrifft, ist offensichtlich die Abbildung p ↦→ pkα(p) −1 holomorph
und damit auch der Schnitt σα, sofern er nur wohldefiniert ist. Das ist aber der Fall,
da auch pk abgebildet wird auf pkkα(pk) −1 = pkk −1 k −1
α (p) = pkα(p) −1 gemäß (1.7).
Zuletzt muss die von den Schnitten σα induzierte Abbildung kσα schon mit kα
übereinstimmen, da Gleichung (1.3) kσα eindeutig bestimmt, nach Konstruktion der
Schnitte (1.8) aber auch von kα selbst erfüllt wird.
1.12 Bemerkung. Eine repräsentantenunabhängige Form der Schnitte ist zudem
gegeben durch
σα(o) = k −1
α,o(e),
�
wobei kα,o =
�
kα�
π−1 nun den Isomorphismus bezeichnet, der die Faser über o ∈ Uα
(o)
mit K identifiziert. Denn unter Anwendung von kα hierauf genau wie auf die alte
Definition (1.8) erhält man kα(pkα(p) −1 ) = kα(p)kα(p) −1 = e.
1.3 Hauptfaserbündel mit Gruppenstruktur
Trägt bei einem Hauptfaserbünel der Bündelraum selbst noch eine Gruppenstruktur,
ist also der Basisraum homogen unter einer Liegruppe, so lassen sich die Bestand-
teile des Bündels konkreter beschreiben. Ein solches Hauptfaserbündel wollen wir
Gruppenbündel nennen und diese Bezeichnung auch nur für diese Situation reser-
vieren.
1.13 Satz. Sei K eine Unter-Liegruppe einer Liegruppe G. Dann trägt das
Hauptfaserbündel G π
−→ G/K mit der gewöhnlichen Quotientenprojektion π als
Bündelprojektion eine zusätzliche Linksaktion von G auf dem Basisraum G/K, und
die lokalen Trivialisierungen (π, kσ), die π −1 (Uσ) mit Uσ × K identifizieren für of-
fende Teilmengen Uσ von G/K, sind explizit gegeben durch
kσ(p) = σ(π(p)) −1 p (1.9)
für p ∈ π −1 (Uσ). In diesem Fall werden die zugehörigen Übergangsfunktionen ein-
fach durch die Multiplikationen
für o ∈ Uσ ∩ Uτ ausgedrückt.
k σ τ (o) = τ(o) −1 σ(o) (1.10)
1.14 Bemerkung. Die Multiplikation mit σ(π(p)) −1 löscht also gewissermaßen den
” Nicht-K-Anteil“ in p aus.