Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

16 1 BÜNDEL
Beweis. Wegen (gp)K = g(pK) ist π(gp) = gπ(p), und daher schon π ◦ σg(o) =
π(gσ(g −1 o)) = gπσ(g −1 o) = o. Also erfüllt σg die Schnitteigenschaft.
1.17 Bemerkung. Explizit ist σg(go) = gσ(o) für o ∈ U. Dann ist auf π −1 (gU) =
gπ −1 (U) mit p ∈ π −1 (U) auch
denn kσg (gp) = σg(gp) −1 gp = σ(p) −1 g −1 gp.
1.4 Assoziierte Bündel
kσg(gp) = kσ(p), (1.12)
Auch wenn für diese Definition eines Hauptfaserbündels bereits klar sein muss,
was überhaupt Bündel heißen soll, so ist doch der Zugang über Hauptfaserbündel
in gewisser Weise allgemeiner. Ein beliebiges Bündel, also ein Bündel mit einer an-
deren Faser als der Strukturgruppe, lässt sich nämlich leicht anhand eines Hauptfa-
serbündels beschreiben, und zwar als Assoziiertes Bündel zu dem Hauptfaserbündel
der eigenen Strukturgruppe K. Das ist genauer das K-Bündel mit derselben Struk-
turgruppe, die zugleich als Standardfaser fungiert.
1.18 Proposition. Sei G π
−→ G/K ein Hauptfaserbündel mit Gruppe K, welche zu-
gleich von links auf einem Raum F holomorph operiert. G habe lokale Trivialisie-
rungen ϕσ = (π, kσ) über Uσ und Übergangsfunktionen k τ σ auf den Schnittgebieten
Uσ ∩ Uτ. Dann ist
G× K F = (G × F)/K = {[p, ξ] = [pk, k −1 ξ] : p ∈ G, k ∈ K, ξ ∈ F}
zusammen mit der Projektion
πF : G× K F −→ G/K, [p, ξ] ↦→ π(p)
und den lokalen Trivialisierungen ϕ F σ = (πF, k F σ) ∈ O(π −1
F (Uσ), Uσ × F) mit
k F σ([p, ξ]) := kσ(p)ξ (1.13)
ein Bündel mit Standardfaser F und den gleichen Übergangsfunktionen wie G – das
sogenannte Assoziierte F-Bündel zu G.
1.19 Bemerkung. Die Übergangsfunktionen beider Bündel stimmen als Gruppen-
elemente von K überein. Allerdings hat natürlich ihre Wirkung auf dem Bündelraum
G im Allgemeinen nichts mit der auf der Faser F zu tun.