Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

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d � m. Da sie sich überlagern, kann es auch dadurch noch zu weiteren Fallunter-
scheidungen kommen, bevor man für ganze Gruppen solcher Situationen einheitli-
che Aussagen über die Wirkung der Erzeuger oder Vernichter treffen kann.
Allerdings – und das kann man vielleicht erahnen, wenn man das Beispiel noch
einmal auf Verallgemeinerungen der gleichen Argumentationsmöglichkeiten in ver-
schiedenen Situationen überprüft: Es könnte sein, dass viele dieser Fallunterschei-
dungen sich gegenseitig aufheben oder dass die Formeln selbst verschiedene Aus-
gangspositionen nivellieren. Etwas ähnliches passierte schon im Beispiel, als sich
herausstellte, dass die Bedingungen ni < d und n ′ i < d′ äquivalent wurden, obwohl
die einzelnen Objekte sich sehr wohl unterscheiden.
Dennoch scheint mir dies nicht ein zu vielversprechender Weg zu sein, um eine
Formel für die Wirkung der Erzeuger und Vernichter auf den Schnitten zu erlan-
gen, auch wenn die lokalen Beschreibungen in gewisser Weise die Objekte, die sie
beschreiben, greifbar oder verstehbar werden lassen. Die lokale Darstellung könnte
auch nützlich sein, eine Idee oder fertige Formel zu verifizieren. Es könnte aus
verschiedenen Gründen sein, dass eine Formel auf den Schnitten eine Art Laplace-
Summe ergibt, die sich dann als Entwicklung einer Determinante interpretieren las-
sen könnte.
Diese Wege scheinen nicht recht eine Geodäte zum Punkt einer Gleichung der an-
fangs genannten Form
/D = ¯∂ + ¯∂ ∗
für einen Fermionen-Operator vom Dirac-Typ zu sein. Vielleicht ist der Umweg
über den Fockraum auch gar nicht günstig oder nötig. Dabei wäre sowieso eine ge-
naue Beschreibung der üblichen Dirac-Strukturen notwendig: des Spinorenbündels
und der Cliffordalgebra. Dies bietet sich an auf der Basis der hier gebrachten
Ausarbeitungen allgemeiner Bündelstrukturen und der relevanten Hilbert-Schmidt-
restringierten Mannigfaltigkeiten und Gruppen.