Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

56 3 DETERMINANTENBÜNDEL
Die Übergangsfunktionen operieren folglich auf den Fasern des dualen Deter-
minantenbündels durch die invertierten Übergangsfunktionen des Determinan-
tenbündels selbst. Oder anders ausgedrückt erhält man durch Invertierung seiner
Übergangsfunktionen das duale Bündel.
Dasselbe Prinzip wird sich auch in der homogenen Formulierung wiederfinden, die
wir jetzt untersuchen wollen.
3.7 Satz. Zu einem Assoziierten Bündel G × K E können wir ein neues homogenes
Bündel G× K E # konstruieren, indem wir K auf E # wie üblich koadjungiert operieren
lassen. Das heißt, wir setzen für k ∈ K und eine Linearform λ ∈ E #
Dann gilt
kλ := (k −1 ) # λ = λ ◦ k −1 . (3.20)
(G× K E) # = G× K E # .
Auch für die Dualbildung ist also die faserweise Konstruktion neuer Bündel kom-
patibel mit dem homogenen Zugang der Hauptfaserbündel und ihrer Assoziierten
Bündel.
Beweis. Zu einem Element [p, λ] ∈ G× K E # definieren wir eine Linearform µ[p,λ] auf
der Faser über pK von G× K E durch
µ[p,λ][p, ξ] := λξ. (3.21)
Das ist möglich, weil in Anbetracht von Lemma 1.22 λ und ξ eindeutig bestimmt
sind durch die Festlegung von p. Dann definiert µ([p, λ]) := (pK, µ[p,λ]) eine faser-
treue lineare Abbildung µ auf (G× K E) # .
Um zu sehen, dass µ auf den Fasern der beiden Bündel einen Isomorphismus ergibt,
konstruieren wir eine inverse Abbildung. Sei µ eine Linearform auf einer Faser von
G× K E über einem Punkt o ∈ G/K. Für p ∈ G mit pK = o definieren wir dazu eine
Linearform λp(µ) auf E durch
λp(µ)ξ := µ[p, ξ].
Dann gilt die Beziehung λpk = k −1 λp, denn λpk(µ)ξ = µ[pk, ξ] = µ[p, kξ] =
λp(kξ) = (k −1 λp)ξ. Daher ist [p, λp(µ)] ein wohldefiniertes Element der o-Faser im
Bündel G× K E # . Die Zuordnung ist auch invers zu der in (3.21): Denn einerseits haben