Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

62 4 FOCKRAUM UND HOLOMORPHE SCHNITTE
Allerdings ist ΛH nicht vollständig, so dass man nicht von einer Orthonormalbasis
sprechen kann. Denn die äußere Algebra enthält lediglich endliche Summen solcher
Produkte. Wir haben aber folgendes
4.2 Korollar. Für einen Hilbertraum H mit einer Orthonormalbasis aus Vektoren
e j ∈ H für j ∈ Z ist durch die Vektoren eP ∈ ΛH mit endlichen Teilmengen P von Z
eine Orthonormalbasis der Vervollständigung der äußeren Algebra von H gegeben.
Das heißt
ˆΛH = 〈eP : |P| < ∞〉∞.
Es ist klar, dass die Vektoren eP ein Orthonormalsystem bezüglich des in (4.5) de-
finierten inneren Produktes bilden. Wir beweisen die Aussage des Korollars, ohne
den Satz zu benutzen, denn hierbei ist mehr von der Struktur des Fockraumes zu
sehen. Daraus folgt umgekehrt die Maximalitätsaussage des Satzes.
Beweis. Für p � ∞ sei Ep := 〈eP : |P| < p〉. Dann ist Êp = 〈eP : |P| < p〉∞.
Wir beobachten, dass E∞ in ΛH enthalten ist, weil die Elemente von E∞ endliche
Summen endlicher Dach-Produkte sind. Dann gilt auch
Ê∞ ⊏ ˆΛH. (4.6)
Umgekehrt beweisen wir durch Induktion Λ p H ⊏ Êp. Für p = 0 gilt Λ 0 H = C =
E0 = Ê0. Sei nun Λ p H ⊏ Êp und ζ ∈ Λ p H sowie ξ ∈ H. Nach Induktionsannahme
ist ζ = � ζ P eP. Außerdem ist ξ = � ξ j je j. Definieren wir ζn und ξn als die endlichen
Ausschnitte dieser Summen über alle P mit |P| < n beziehungsweise über alle j mit
| j| < n, so gilt lim ζn = ζ und lim ξn = ξ. Dann konvergiert auch ζn ∧ ξn gegen ζ ∧ ξ
in Λ p+1 H. Auf der anderen Seite sind die Produkte ζn ∧ ξn = ( � n ξ P eP) ∧ ( � n ξ j e j) =
� n ζ P ξ j (eP ∧ e j) Elemente von Ep+1. Da nach (4.6) Êp+1 im Hausdorff-Raum ˆΛH
enthalten ist und die Folge dort konvergiert, muss der Limes ζ ∧ ξ auch schon in
der Vervollständigung Êp+1 von Ep+1 liegen. Ein allgemeines Element von Λ p+1 H
ist eine Summe solcher Produkte ζ ∧ ξ und daher auch in Êp+1 enthalten. Damit ist
die Induktion beendet. Benutzen wir nun dieses Ergebnis Λ p H ⊏ Êp, so erhalten
wir
weshalb schließlich auch ˆΛH ⊏ Ê∞ gilt.
�
ΛH = Λ p �
H ⊏ Êp ⊏ Ê∞,
p
4.3 Bemerkung. Die auftretenden Limiten sind zu verstehen als Grenzwerte
bezüglich der Konvergenz im Netz der endlichen Teilmengen.
p