Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

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36 2 GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEITEN 2.3.3 Der Hilbertraum-Fall und die restringierte unitäre Gruppe Eine genauere Beschreibung ergibt sich, sobald man der Situation ein wenig mehr Struktur abverlangt. Zum einen wollen wir uns nun auf die eigentlich interessanten Ideale I zwischen den Operatoren von endlichem Rang F und den kompakten Ope- ratoren K beschränken. Wie beschrieben werden dann FredI-Operatoren einfach Fredholm im üblichen Sinn, haben also endlichdimensionalen Kern und Kokern. Alle wichtigen Ideale sind zudem ∗-Ideale, die kurz gesagt mit z auch z ∗ enthalten, was wir jedenfalls voraussetzen wollen. Zum anderen betrachten wir statt des bis- herigen Banachraumes B jetzt spezieller einen separablen Hilbertraum H mit einer festen Orthogonal-Zerlegung H = H+ ⊕ H− in zwei gleich große Hälften H+ � H−, das heißt beide unendlich-dimensional. 2.28 Satz. Auf der I-Grassmannschen GrI(H) operiert bereits die durch I ein- geschränkte unitäre Gruppe UI(H) := U(H) ∩ GLI(H) transitiv. Der Stabilisator dieser Operation reduziert sich auf � � a 0 Stab(H+) = { ∈ UI(H)} = U(H+) × U(H−). 0 d Um an die Transitivität zu kommen, braucht man noch einen Hilfssatz, der zugleich eine andere, einfacher zu handhabende Beschreibung dieser Grassmannschen lie- fert. 2.29 Proposition. Für ein Ideal F ⊳ I ⊳ K besteht GrI(H) genau aus den Bildern von Operatoren w ∈ L(H+, H), für die die Verkettung mit den Projektoren jeweils pr + ◦w I-Fredholm und pr − ◦w Ideal-Element sind. Der erzeugende Operator w kann dabei als Isometrie gewählt werden. 2.30 Bemerkung. Diese Proposition zeigt zugleich, dass die Grassmannsche schon homogen unter der Hälfte“ der Gruppe GLI(H) ist, nämlich dem Raum der er- ” � � a sten der beiden Matrixspalten, = w. Das ist gerade L(H+, H). Für die rechts c operierende Gruppe bleibt dann wegen der Bedingung c = 0 nur die obere Ecke übrig, also GLI(H+), welche durch Verkettung von rechts operiert. So erhält man ein Hauptfaserbündel – das etwa in [6] benutzt wird – bei dem zwar nicht mit der zweiten Spalte zu kämpfen ist, das dafür aber keine Gruppenstruktur mehr trägt.
2.3 Die restringierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten 37 Beweis. Wir zeigen zuerst, dass für ein solches w der Unterraum W := wH+ Ele- ment von GrI(H) ist. Da w surjektiv auf W abbildet, ist zum einen dim ker pr W + � dim ker pr + ◦w < ∞ und zum anderen codim ran prW + = codim ran pr + ◦w < ∞, also prW + ∈ FredI(W, H+). Um zu sehen, dass auch prW − ∈ I(W, H−) sein muss, schränken wir w ein auf das orthogonale Komplement seines Kernes in H+. Darauf hat w nun eine inverse Abbildung v ∈ L(W, H+), womit wirklich prW − = pr− ◦w ◦ v ∈ I(W, H−) ist. Umgekehrt stellt die Verkettung mit den Projektoren bei vorgegebenem W ∈ GrI(H) keine Bedingung an eine Isometrie oder allgemeiner an eine Injektion w ∈ L(H+, H) mit Bild W. Bezeichnet man nämlich mit ˜w die Abbildung w auf sein Bild, so ist ˜w selbstverständlich invertierbar, weshalb pr + ◦w = prW + ◦ ˜w I-Fredholm ist. Und trivialerweise gilt mit prW − ∈ I(W, H−) auch pr− ◦w = prW − ◦w ∈ I(H+, H−). Wir haben also einfach irgendeine Isometrie von H+ auf W zu finden. Wie bereits gesehen sind wegen dim(H+/ ran pr W + ) < ∞ die beiden Räume isomorph, weshalb sich daher zum Beispiel einfach zwei Orthonormalbasen aufeinander abbilden las- sen. 2.31 Bemerkung. Bei diesem Verfahren, eine lineare Abbildung auf einem separablen Hilbertraum auf einer Orthonormalbasis zu definieren, soll darauf aufmerksam gemacht sein, dass es sich nicht bloß um lineare Fortsetzung wie bei einer algebrai- schen Basis handelt, sondern um eine Fortsetzung im Hilbertraum-Sinn, also linear und stetig. Explizit heißt das für ein beliebiges Element � λ je j des Hilbertraums mit einer quadratsummierbaren Koeffizientenfolge (λ j) ⊂ C, also � |λ j| 2 < ∞, und einer Orthonormalbasis e j w �� j∈N � λ je j = � λ jw(e j). Damit können wir nun zum Beweis des vorangegangen Satzes über die Operation von UI(H) auf GrI(H) kommen. Beweis. Als Untergruppe von GLI(H) operiert natürlich UI(H) auf GrI(H). Es bleibt die Transitivität zu zeigen. Das heißt, zu W ∈ GrI(H) ist ein Operator g ∈ UI(H) zu finden, der H+ auf W dreht. Nach obiger Proposition existiert eine Iso- metrie w ∈ L(H+, H) mit Bild W sowie Komponenten a = pr + ◦w ∈ Fred(H+, H+) und c = pr − ◦w ∈ I(H+, H−). Außerdem existiert eine Isometrie w ⊥ ∈ L(H−, H) mit Bild W ⊥ , wozu man einfach die Beschreibung aus dem vorigen Beweis auf diese j∈N
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