Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

20 1 BÜNDEL
kσ(σ(o))φσ(o) = φσ(o), sind also nach Voraussetzung holomorh. Alternativ ist φ
die Abbildung o ↦→ (σ(o), φσ(o)) verkettet mit der Quotientenprojektion und auch
deswegen holomorph.
Die lokalen Darstellungen liefern also neben einer Beschreibung des Schnittes mit
der letzten Proposition auch eine Möglichkeit, globale Schnitte zu konstruieren.
Die Homogenität der Mannigfaltigkeit stellt dafür aber noch ein weiteres Verfahren
bereit.
1.28 Proposition. Jede Funktion ˜φ ∈ O(G, F) induziert einen Schnitt φ ∈ O(G/K,
G× K F), gegeben durch die Formel
wenn nur ˜φ die Bedingung
für alle p ∈ G und k ∈ K erfüllt.
φ(pK) = [p, ˜φ(p)], (1.18)
˜φ(pk) = k −1 ˜φ(p) (1.19)
Beweis. Die Funktionalgleichung (1.19) lässt die Definition von φ unabhängig von
der Auswahl eines Repräsentanten von pK werden. Wir haben nur zu zeigen, dass
der so definierte Schnitt auch holomorph ist. Das ist deshalb der Fall, weil die Ab-
bildung p ↦→ (p, ˜φ(p)) mit ˜φ holomorph ist. Wendet man darauf die Quotientenpro-
jektionen an, so erhält man eine holomorphe Funktion, die mit φ ◦ π übereinstimmt.
Die Submersion π überträgt dann die Holomorphie auf φ.
Wir wollen den Raum aller Funktionen ˜φ mit (1.19) als OK(G, F) bezeichnen. Dann
gilt auch die Umkehrung der obigen Aussage und wir erhalten insgesamt den fol-
genden
1.29 Satz. Auf natürliche Weise ist
O(G/K, G× K F) = OK(G, F), (1.20)
sogar im linearen Sinn, falls die Operation von K auf F linear ist.
Beweis. Der Zusatz ist klar nach Definition der linearen Struktur der Fasern in der
” zweiten Komponente“. Man beachte, dass dann auch OK(G, F) Vektorraum ist.