Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

10 1 BÜNDEL
hungsweise n die Einbettung jM und Projektion pM,
jM : M −→ M × N, p ↦→ (p, n),
pM : M × N −→ M, (p, q) ↦→ p,
und analog jN und pN Abbildungen auf den Keimen, nämlich
j ∗ M : O(m,n)(M × N) −→ Om(M), h(m,n) ↦→ (h ◦ jM)m,
p ∗ M : Om(M) −→ O(m,n)(M × N), fm ↦→ ( f ◦ pM)(m,n).
Die Zuordnung (·) ∗ ist funktoriell, und wir haben folgende
1.4 Proposition. Ein natürlicher Isomorphismus
wird gegeben durch die Identifizierung
mit der Umkehrung
T(m,n)(M × N) = TmM × TnN
Z ↦→ (Z ◦ p ∗ M, Z ◦ p ∗ N)
(X, Y) ↦→ X ◦ j ∗ M + Y ◦ j ∗ N.
Beweis. Sei i := jM ◦ pM + jN ◦ pN. Dann ist i(p, q) = (p, n)+(m, q) = (p, q)+(m, n),
also i = idM×N +(m, n), so dass i ∗ nur die Identität auf O(m,n)(M × N) plus Evaluation
in (m, n) ist. Diese verschwindet aber unter jedem Vektor Z. Daher gilt
Z ◦ p ∗ M ◦ j ∗ M + Z ◦ p ∗ N ◦ j ∗ N = Z ◦ i ∗ = Z.
Andererseits ergibt sich bei umgekehrter Anwendung in der ersten Komponente
(X ◦ j ∗ M + Y ◦ j ∗ N) ◦ p ∗ M = X ◦ (pM ◦ jM) ∗ + Y ◦ (pM ◦ jN) ∗ = X + 0 = X,
da pM ◦ jM die Identität auf M ist und der zweite Summand pM ◦ jN wie oben
als konstant m unter Y verschwindet. Analog ergibt hier die zweite Komponente
0 + Y = Y, womit tatsächlich die beiden Zuweisungen invers zueinander sind.
Diese natürliche Zerlegung in ein Produkt von Tangentialräumen ergibt in unserem
Fall an Uσ × K für den zuerst noch speziellen Basispunkt (o, e) mit dem neutralen
Element e ∈ K
To,e(Uσ × K) = ToUσ × TeK.