an investigation of dual stator winding induction machines
an investigation of dual stator winding induction machines
an investigation of dual stator winding induction machines
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
119<br />
( )<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
5<br />
2<br />
5<br />
4<br />
5<br />
6<br />
5<br />
8<br />
5<br />
4<br />
5<br />
8<br />
5<br />
2<br />
5<br />
6<br />
5<br />
6<br />
5<br />
2<br />
5<br />
8<br />
5<br />
4<br />
5<br />
8<br />
5<br />
6<br />
5<br />
4<br />
5<br />
2<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
5<br />
2<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
θ<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
T (3.86a)<br />
( )<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
−<br />
−<br />
−<br />
5<br />
2<br />
5<br />
4<br />
5<br />
6<br />
5<br />
8<br />
5<br />
4<br />
5<br />
8<br />
5<br />
2<br />
5<br />
6<br />
5<br />
6<br />
5<br />
2<br />
5<br />
8<br />
5<br />
4<br />
5<br />
8<br />
5<br />
6<br />
5<br />
4<br />
5<br />
2<br />
1<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
θ<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
T (3.86b)<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
3<br />
3<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3<br />
5<br />
3<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
5<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
5<br />
5<br />
5<br />
5<br />
5<br />
5<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
6<br />
2<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
θ<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
T (3.87a)<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
−<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ +<br />
−<br />
−<br />
−<br />
3<br />
3<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3<br />
5<br />
3<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
5<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
1<br />
5<br />
5<br />
5<br />
5<br />
5<br />
5<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
π<br />
θ<br />
θ<br />
θ<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
T (3.87a)<br />
The reference frame tr<strong>an</strong>sformation produces n complex variables in the arbitrary<br />
reference frame for n variables in the phase variable system. However, it is observed that<br />
when n is odd, there is a zero sequence real component, (n-1)/2 forward rotating complex<br />
variable components which are complex conjugates <strong>of</strong> the remaining (n-1)/2 backward