Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (2017)

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Do a b c 0
a − b
a − c
> > > và ( ) = − 1<
0
f a
và lim f ( x) = 1 > 0 nên
x→+∞
phương trình f ( x ) = 0 có duy nhất một nghiệm trên khoảng [ a +∞)
, .
Nhận xét: Có thể tính đạo hàm để suy ra f ( x ) là hàm số đồng biến:
Tuy nhiên tính đạo hàm
a−c b−c
f ′( x) = + > 0, ∀ a > b > c > 0
2 x−a 2 x −b
2( x−c) 2( x −c)
x −c x −c
khá vất vả và không cần thiết. Ta chỉ cần sử dụng định lí Balzano-Cauchy:
Nếu hàm ( )
c
f x liên tục trên [ a,
b ] và f ( a) f ( b ) < 0
∈( a,
b)
sao cho ( ) 0.
suy ra ( ) 0
thì tồn tại ít nhất một điểm
f c = Từ tính chất đồng biến chặt của hàm số y = x ta
f x = có duy nhất nghiệm.
Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm lũy thừa
x
Có thể sử dụng tính đồng biến ngặt của hàm lũy thừa y = a , khi a > 1
và nghịch biến ngặt khi 0 < a < 1 để giải phương trình mà không sử dụng
công cụ đạo hàm.
Bài 20 (Olympic Chinh phục đỉnh núi Vorobiev, CHLB Nga, 2015,
Vòng Chung kết)
2 2
Tìm tích các nghiệm của phương trình ( x − x− ) = ( + x−
x )
log 2 2 log 12 2 .
5+ 15 5−
15
2 2
Giải: Đặt t = ( x − x − ) = ( + x − x )
Khi ấy ta có
log 2 2 log 12 2 .
5+ 15 5−
15
( )
( )
t
⎧
2
⎪
5 + 15 = x − 2x
− 2,
⎨
⎪ − = + −
⎩
t
2
5 15 12 2 x x .
t
Suy ra ( ) ( )
5 + 15 + 5 − 15 = 10 (2)
t
Vì hàm số ( 5 15) ( 5 15)
có duy nhất nghiệm t = 1.
t
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
t
y = + + − là hàm tăng chặt nên phương trình
Skype : daykemquynhon@hotmail.com
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
21
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial