Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (2017)

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Giải: Hệ phương trình đã cho có nghĩa với mọi x, y ∈ . Ta có:
( )
xy + = y x + ⇔ y x + − x =
2 2
2 2 2 2
2
2
⇔ y = ⇔ y = x + 2 + x 1
2
x + 2 − x
( )
Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được:
( ) 2
2 2 2
x + 2 + x + 2( x + 1) x + 2x + 3 = 2x − 4x
⇔ + x x + + x + x + x + x + =
2 2
1 2 2 ( 1) 2 3 0
⇔ +
⎡
+ + +
⎤
= − ⎡ + − + ⎤
⎢⎣ ⎥⎦
⎢⎣ ⎥⎦
( x 1) 1 ( x 1) 2 2 ( x) 1 ( x) 2 2 ( 2)
2
Hàm số f ( t) t ( 1 t 2 )
= + + có
t
f ′ t = + t + + > ∀t
∈
t + 2
2
2
( ) 1 2 0 .
2
Suy ra f ( t ) đồng biến chặt trên . Phương trình (2) có dạng
−1
f ( x + 1) = f ( −x) ⇔ x + 1 = −x ⇔ x = .
2
Thay
−1
x = vào (1) ta tìm được y = 1.
2
Vậy hệ đã cho có nghiệm là
−1 x = , y = 1.
2
Bài 26 (Thi học sinh giỏi Nghệ An 2010–2011, lớp 12) Giải hệ phương trình
3 3 2
⎧ ⎪y + y = x + 3x + 4x
+ 2
⎨
⎪⎩
2
1− x − y = 2 − y −1
Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là: −1≤ x ≤1,0 ≤ y ≤ 2.
Với điều kiện trên, hệ phương trình đã cho tương đương với
( ) 3
⎧ 3
y + y = x + + x +
⎪
⎨
⎪⎩
1 ( 1) (1)
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
1 1 2 (2)
− x + = y + − y
Từ điều kiện (*) ta có x + ∈[ ] y∈
[ ]
1 0,2 ; 0,2 .
Skype : daykemquynhon@hotmail.com
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
25
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial