Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (2017)

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Bài 15 (Tuyển sinh đại học Khối A, 2013) Giải hệ phương trình
⎧ 4
4
+ 1 + −1 − + 2 =
⎪ x x y y
⎨
( x, y ∈ ).
2 2
⎪⎩ x + 2x( y − 1)
+ y − 6y
+ 1 = 0
Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là x ≥ 1.
Từ phương trình thứ hai ta có
( ) 2
4y = x + y −1 ⇒ y ≥ 0.
4 4
Đặt u = x − 1. Khi đó u ≥ 0, x = 1 + u . Phương trình thứ nhất trở thành
4 4
u u y y
+ 2 + = + 2 + .
(1)
3
Xét hàm số ( ) 4
2t
f t = t + 2 + t ( t ≥ 0 ).
Ta có f ′( t)
= + 1>
0 với mọi t ≥ 0.
4
t + 2
Suy ra phương trình (1) tương đương với
( ) ( )
4
= ⇔ = ⇔ = + 1.
f u f y u y x y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có y( y 7 + 2y 4 + y − 4) = 0. ( 2)
g′ y = 7y + 8y + 1> 0, ∀y
≥0.
Xét hàm số g( y) = y 7 + 2y 4 + y−4, ( y≥0 ).
Ta có ( )
6 3
Do đó hàm số g ( y)
đồng biến trên [ 0; +∞ ).
Ta có ( 1)
0
y
g = nên phương trình (2) tương đương với = 0 ∨ y = 1. .
Với y = 0 thì x = 1; Với y = 1 thì x = 2.
Đáp số: Nghiệm của hệ là ( ) ( )
1,0 ; 2,1 .
Nhận xét: Kết hợp đặt ẩn phụ với phương pháp đạo hàm.
Bài 16 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, bảng A, 2011–2012, lớp 12)
Tìm tất cả những giá trị của để hệ phương trình sau có nghiệm:
3 3 2
⎧x − x − y + y − =
⎪
⎨
⎪⎩
12 6 16 0 (1)
2 2 2
4x 2 4 x 5 4y y m 0 (2)
+ − − − + =
( I)
( x y ∈ )
, .
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là −2 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 4. (*)
Skype : daykemquynhon@hotmail.com
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
55
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial