Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (2017)

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
nên là hàm đồng biến chặt trên [ 0; +∞)
.
Vậy (1) ( ) ( )
⇔ f 2x − y = f x + y ⇔ x = 2 y.
Thế vào (2) ta được 3 3
y + 1 = 2(2 y − 1) . ( 3 )
Đặt 3 y = 2t
− 1, phương trình (3) trở thành hệ:
( 2y
−1)
⎧
⎪t
=
⎨
⎪ ⎩y
= −
( 2t
1)
Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ trên, ta được
( 2 1) ( 2 1) ( ) ( 2 2 ) ( 2 1) ( 2 1)( 2 1) ( 2 1)
3
3
( )
3 3 2 2
t − y = y − − t − ⇔ t − y = y − t y − + y − t − + t −
2
Do 2 ⎡(2y − 1) + ( 2y −1)( 2t − 1) + ( 2t − 1) 2 ⎤ + 1 > 0, ∀y,
t nên t = y.
⎣
⎦
Thế vào phương trình t = ( 2y
− 1) 3
ta được
3 3 2 2
( ) ( )( )
y = 2y −1 ⇔ 8y − 12y + 5y − 1 = 0 ⇔ y −1 8y − 4y
+ 1 = 0.
⇒ y = 1⇒ x = 2
thỏa mãn (*).
Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất( x y ) = ( )
; 2;1 .
Bài 31 (Thi học sinh giỏi Quảng Nam 2014 –2015) Giải hệ phương trình
( 4 1) 2( 1) 6 ( 1)
3 2 2
⎧ y x + + y + y =
⎪
⎨
⎪y x x y y
⎩
( 2 + 2 4 + 1) = + + 1. ( 2)
2 2 2
Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là y ≥ 0.
Do y = 0 không là nghiệm hệ nên y > 0.
Từ (2), để hệ phương trình có nghiệm thì x > 0. Ta có
2 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
2 ⇔ 2x + 2 x. 2x + 1 = + . ⎜ ⎟ + 1 ⇔ f 2 x = f ⎜ ⎟.
y y ⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠
( ) ( ) ( )
2
Hàm số f ( t)
= t + t t + 1 có ( )
t
f ′ t = + t + + > ∀ t >
t + 1
2
2
2
1 1 0 0.
2
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Do đó hàm số f ( t ) đồng biến trên ( 0;+∞ ) . Suy ra ( )
⎛1⎞
1
f 2x = f ⎜ ⎟⇔ 2 x=
.
⎝ y⎠
y
Skype : daykemquynhon@hotmail.com
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
29
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial