Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (2017)

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
So với điều kiện (*), ta đi đến
⎧x
= −1
⎨
⎩y
= 1
hoặc
{ }
Đáp số: Tập nghiệm của hệ là S = ( − ) ( − )
⎧x
= 2
⎨
⎩y
= − 2
1;1 ; 2; 2 .
Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với phương pháp đạo hàm.
Ngoài ra, cần có những lí luận đặc biệt.
Bài 23 (Thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh năm 2014) Giải hệ phương trình
( 2x 1) x y ( 6 x y) 2 x ( 1)
⎧
⎪ − + = − − −
⎨
⎪⎩ x + xy − x = x − x − y +
( )
3 2 3
2 12 3 18 6 5 2
Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là:
( )
x + y ≥ 0, x ≤ 2. *
2
Đặta 2 x 0 x 2 a ; b x y 0.
= − ≥ ⇒ = − = + ≥ Khi ấy ( 1) ⇔( 3− 2a 2 ) b= ( 6 − b 2
) a. ( 3)
Do a = b = 0 ⇔ x = 2, y = − 2 không thỏa mãn hệ nên xét a > 0, b > 0.
Với a 0, b 0
> > thì ( )
6
t
( a)
( 2 )
2 2 2 2
3−2a 6−b 6−
2 6−b
3 ⇔ = ⇔ = ⇔ f ( 2 a) = f ( b)
.
a b a b
6 1 0, 0
t
Hàm số f ( t ) = − t có f ′( t ) = − − < ∀
2 t > nên ( )
chặt trên ( 0, +∞ ).
Suy ra ( ) ( )
chặt trên .
f 2a = f b ⇔ b = 2 a.
Hay ( )
x + y = 2 2 − x ⇔ x + y = 4 2 − x ⇔ y = 8 − 5 x.
Thế vào (2) ta được: ( )
3 2 3
2 ⇔ 2 − 3 + 6 = − − 3.
x x x x
f t đồng biến
3
3 2 3 2 3
3
2
( x x ) x x ( x ) ( x ) f ( x x ) f ( x )
⇔ 6 − 3 + 2 6 − 3 = − 1 + 2 −1 ⇔ 6 − 3 = −1 .
3
2
Hàm số f ( z) = z + 2z
có f ′( z)
= 3z + 2 > 0 ∀z
∈ nên f ( )
z đồng biến
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Suy ra f ( ) 3 6x − 3x 2 = f ( x−1) ⇔ 3 6x− 3x 2 = x−1⇔ x 3
−3x
− 1=
0. ( 4)
( )
Xét x ∈[ − 2;2]
và đặt x 2cos u, u [ 0; π ]
= ∈ thì
Skype : daykemquynhon@hotmail.com
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
63
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial