Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (2017)

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Suy ra:
( )
x y y x x
⎧ 1 1
=
⎪
1+ u 1+ v ⎪⎧
u = v
⎨
⇔ ⎨
⇔ u = v.
⎪ u v u ( 1+ v) = v( 1+
u)
=
⎪⎩
⎪ ⎩1+ u 1+
v
2
+ 1= + 2 ⇔ = + 2 − 1. Thế vào phương trình (2), ta được:
3 2 4 3 2
2 ⇔ 2 − 1 + − + 1 + 2 − 3 + 5 − 6 = 0
x x x x x x x
3
( ) ( )
⇔ x − − + x − x + − + x − x + x − x + =
2 4 3 2
2 1 1 1 1 2 3 5 6 2 0
( x − ) x( x − )
2 1 1
2
⇔ + + ( x −1)( 2x − 1)( x + 2)
= 0
2
2
2x
− 1 + 1 3
3 2
x − x + 1 + x − x + 1 + 1
( )
⎡
⎤
2
x
2
⇔ ( x − 1 ). ⎢
( 2x 1)( x 2
⎥
⎢
+ + − + ) = 0.
2
2x
− 1 + 1
⎥
3 2 3 2
⎢
( x − x + 1)
+ x − x + 1 + 1
⎣
⎥⎦
2 x
2
1
Do + + ( 2x − 1)( x + 2)
> 0, ∀x
≥
2
2
2x
− 1 + 1 3
3 2
x − x + 1 + x − x + 1 + 1
2
( )
nên phương trình trên chỉ có nghiệm là x = 1. Suy ra y = 2.
Đáp số: Hệ có duy nhất nghiệm ( x y ) = ( )
; 1;2 .
Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với đặt ẩn phụ.
Bài 26 (Thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2009) Giải hệ phương trình
⎧ 1 1 2
+ =
2 2
⎪ 1+ 2x
1+
2y
1+
2xy
⎨
⎪
2
x x y y
⎪⎩
9
( 1)
( 1− 2 ) + ( 1− 2 ) = ( 2)
Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là:
Đặt
2
u = x 2; v = y 2, u; v∈⎢ ⎡ 0; ⎤
⎥
⎣ 2 ⎦
1
0 ≤ x;
y ≤ .
2
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1 1 2
⇔ + =
+
ta có: ( 1 ) . ( 3)
2 2
1+ u 1+
v 1 uv
Skype : daykemquynhon@hotmail.com
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
67
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial