Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (2017)

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
3
3
Với điều kiện trên thì ( ) ⇔ x − x = ( y − ) − ( y − )
Xét hàm số f ( t) = t 3 − t t ∈[ − ]
1 12 2 12 2 .
12 , 2;2 .
Ta có f t 2 ( t
2
)
′( ) = 3t − 12 = 3 − 4 < 0 với mọi t ∈( −2;2 ).
Suy ra hàm số
f ( t ) nghịch biến trên [ − 2;2 ].
Vậy f ( x) f ( y 2)
= − ⇔ x = y − 2.
Thay vào phương trình (2) ta được 3 4 − x 2 − 4 x 2 = m. ( 4)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (4)
có nghiệm x thuộc đoạn [ − 2;2 ].
Đặt g x = − x 2 − x 2 x ∈[ − ]
Ta có
( ) 3 4 4 , 2;2 .
−3x
⎛ 3 ⎞
g′ ( x) = − 8x = − x⎜
+ 8 ⎟.
2 2
4 − x ⎝ 4 − x ⎠
g′ ( x) = 0 ⇔ x = 0 và
g′ ( x) > 0 ⇔ − 2 < x < 0, g ( x) 0 0 x 2; g 0 = 6; g − 2 = g 2 = −16
nên [ − 2;2] [ − 2;2]
′ < ⇔ < < ( ) ( ) ( )
min g( x) = g(2) = g( − 2) = − 16; max g( x) = g(0) = 6.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi −16 ≤ m ≤ 6.
Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với phương pháp đạo hàm.
Bài 17 (Thi học sinh giỏi Lâm Đồng 2013–2014, lớp 12) Giải hệ
phương trình
( 3x 9x )( ) 2 1 y y
2 1 1
( x y ∈
)
⎧
⎪ + + + + =
⎨
⎪
3
⎩8x + 2y = 5x + y + 2.
, .
Giải: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
2
Xét hàm số f ( t) t t
Vì f ( t)
2 2
( ) ( ) ( )
3x + 3x + 1 = − y + − y + 1 1
= + + 1
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
t + t + 1
′ = > 0
2
t + 1
với mọi t ∈ nên hàm số f ( t ) đồng biến trên .
Skype : daykemquynhon@hotmail.com
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
56
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial