Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (2017)

https://twitter.com/daykemquynhon
plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon
https://daykemquynhon.blogspot.com
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /
Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
x
= y =
r r
Suy ra u = ( x,3) = kv = k( y,3).
Do đó k = 1 và x = y.
Từ x + y = 8 suy ra
4.
nghĩa là:
Lời bình: Cách giải 2 sáng tạo hơn.
Bài 5 (Thi vào Đại học, Cao đẳng, Khối A, 2006) Giải hệ phương trình
⎧ ⎪x + y − xy = 3 (1)
⎨
⎪⎩ x + 1 + y + 1 = 4. (2)
( I )
Cách 1 (Đặt ẩn phụ và biến đổi tương đương) Điều kiện để hệ (I) có
xy ≥ 0, x ≥ −1, y ≥ − 1.
(*)
Đặt t = xy, t ≥ 0. Phương trình (1) trở thành x + y = 3 + xy = 3 + t.
Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được
x + y + 2 + 2 xy + x + y + 1 = 16.
Thay x + y = 3 + t vào (2’) ta được
2 2
3 2 2 4 16 2 4 11
+ t + + t + t + = ⇔ t + t + = − t
⎧⎪
11− t ≥ 0 ⎧0 ≤ t ≤11
⇔ ⎨
⇔ t 3.
2 2 ⎨
⇔ =
2
⎪⎩
4( t + t + 4)
= 121− 22t + t ⎩3t + 26t
− 105 = 0
Suy ra x + y = 6, xy = 9 ⇔ x = y = 3.
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Cauchy) Vì xy ≥ 0 nên x và y cùng dấu.
Từ phương trình (1) suy ra x + y = 3 + xy ≥ 0. Do đó x ≥ 0, y ≥ 0.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
x + y
x + y = 3 + xy ≤ 3 + ⇒ x + y ≤ 6.
2
Kết hợp với phương trình (2) ta được
DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
(( ) ( )) ( ) ( )
4 = x + 1 + y + 1 ≤ 2 x + 1 + y + 1 = 2 x + y + 2 ≤ 2 6 + 2 = 4.
Skype : daykemquynhon@hotmail.com
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
45
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial
www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial