Giải toán tích phân bằng nhiều cách - Nguyễn Thành Long - Có lời giải chi tiết

Khi đó
2
I x x dx
1 2 1 dx 1 2
2 ln 2 1
ln . ln 2
x 1
1
x x 2 1
2 2
Bài 8: Tính tích phân sau:
I
1
0
e
x
e
x
x
e
dx
Giải:
Cách 1: Sử dụng tích phân liên kết
Liên kết của I là
Ta có
J
1
0
x
e
x
e e
x
dx
1 x
1 x
1
e e
I J dx dx dx 1
e e
e e
x x x x
0 0 0
d e e
1 1
I J dx e e e e
e e e e 0 2e
1 x x
1 x x
2
e e x x
1
e
ln ln ln 2 ln
x x x x
0 0
2 2 2
1 1 1 1 1
Cộng lại ta được 2 1 ln e
1 ln e
ln
e
I I
2e
2
2e
2 2
Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt
x
x
t e dt e
x 1
t e
Đổi cận
x0 t
1
Khi đó
e e e 2 2
dt t 1 d t 1
1 2
e 1 e 1
I ln
2 2 1
ln
1 dt t
t 1 2 t 1 2 1 2 2
1 t
1 1
t
Cách 3: Phương pháp biến đổi số
e
x x x
e e . e
I dx dx
2x
1 1
1
x
e
e
1
x
e
e
Đặt tan tan 2 1
e t e dx dt
2
cos t
x x dt
e
2
Khi đó I 2 tan 1
dt tan xdx ln cos x ln 2 ln cos
(với arctan e
1
tan x
1
tan 1 4
2
4
)
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 39