Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Apéndice A
Ecuaciones en diferencias
Sumario. Ecuaciones en diferencias. Solución de una ecuación en diferencias.
Ecuaciones lineales: teoría general. Transformada Z. Estabilidad de ecuaciones en
diferencias lineales. Estabilidad local de ecuaciones en diferencias no lineales.
A.1 Introducción
Una ecuación en diferencias es una expresión de la forma
F (n, yn,yn+1, ..., yn+k) =0,
donde F : Ω ⊆ R k+2 → R es una función definida sobre un subconjunto Ω de R k+1 . El número k
recibe el nombre de orden de la ecuación. Por ejemplo, las ecuaciones
yn+2 − yn = 0,
nyn+3 − e yn+3yn = yn+1,
son de órdenes 2 y 3, respectivamente. Aparte del orden, existe una gran diferencia entre las ecuaciones
anteriores. En la primera se puede despejar el término yn+2, quedando la ecuación
yn+2 = yn,
mientras que en la segunda ecuación tal operación no puede realizarse, es decir, no se va a poder
despejar explícitamente el término yn+3. Nosotros vamos a centrarnos en el primer tipo de ecuaciones,
que llamaremos resueltas respecto de el mayor término de la sucesión yn. A partir de este momento,
consideraremos ecuaciones en diferencias de la forma
yn+k = f(n, yn,yn+1, ..., yn+k−1), (A.1)
siendo f : Λ ⊆ R k → R una función.
Por una solución de la ecuación (A.1) entenderemos una solución xn denúmerosrealesdemanera
que verifique
xn+k = f(n, xn,xn+1, ..., xn+k−1).
95