Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones en diferencias
si |z| > 1. Entonces si |z| > 2 se tiene que
por lo que si k ≥ 2
Z[yk](z) =
−1 3 4
− +
(z − 1) 2 z − 1 z +2
=
∞X
∞X
∞X
n +1 1 (−2)
− − 3 +4
zn+2 zn+1 n=0
n=0
n=0
n
zn+1 = 1
z −
∞X
∞X
∞X
n +1 3 4(−2)
− +
zn+2 zn+2 n=0
n=0
n=0
n+1
zn+2 = 1
z +
∞X −n − 4+4(−2) n+1
zn+2 ,
n=0
yk =4(−2) k+1 − 4+k.
Veamos a continuación el siguiente ejemplo, en que las raices son complejas:
½
xn+2 − 2xn+1 +2xn =1,
x0 = x1 =0.
Si aplicamos la transformada Z a la ecuación, tenemos que
Por un lado
mientras que
Z[xn+2 − 2xn+1 +2xn](z) =Z[1](z).
Z[1](z) =
∞X
n=0
1 1
=
zn 1 − 1
z
= z
z − 1 ,
Z[xn+2 − 2xn+1 +2xn](z) = Z[xn+2](z) − 2Z[xn+1](z)+2Z[xn](z)
= z 2 Z[xn](z) − z 2 x0 − zx1 − 2zZ[xn](z) − 2zx0 +2Z[xn](z)
= (z 2 − 2z +2)Z[xn](z),
de donde
z
Z[xn](z) =
(z − 1)(z2 − 2z +2) .
Desarrollamos la función en serie de Laurent para calcular xn. Para ello en primer lugar
z
(z − 1)(z2 − 2z +2) =
z
(z − 1)(z − 1 − i)(z − 1+i)
=
1 1 1+i 1 1 − i
− −
z − 1 2 z − 1 − i 2 z − 1+i .
Calculamos de forma separada
1
z − 1
= 1
z
1
1 − 1
z
= 1
z
102
∞X
n=0
1
=
zn ∞X
n=1
1
,
zn