Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

tenemos que los valores que obtenemos para tamaño de paso h =0.1 son
cuyoserroresson
y1 =1.10517, y2 =1.2214,
y3 =1.34986, y4 =1.49182,
y5 =1.64872, y6 =1.82212,
y7 =2.01375, y8 =2.22554,
y9 =2.4596, y10 =2.71828,
e1 =8.4 · 10 −8 e2 =1.8 · 10 −7
e3 =3.1 · 10 −7 e4 =4.6 · 10 −7
e5 =6.3 · 10 −7 e6 =8.3 · 10 −7
e7 =1.1 · 10 −6 e8 =1.4 · 10 −6
e9 =1.7 · 10 −6 e10 =2.1 · 10 −6
Métodosdeunpaso
Obsérvese que son similares a los obtenidos en el método de Taylor de segundo orden. Si variamos
el tamaño de paso, obtenemos los siguientes errores para los siguientes valores
h =1 h =0.1 h =0.01 h =0.001 h =0.0001 h =0.00001
0.00995 2.1 · 10 −6 2.25 · 10 −10 1.38 · 10 −14 6.22 · 10 −15 6.26 · 10 −14
Como vemos, los errores de redondeo hacen que no se aprecie que el error del paso h/10 es
aproximadamente el del paso h elevado a la cuarta potencia. Este hecho sí se aprecia en los tamaño
de paso hasta 0.001.
2.4 Análisis del error en los métodos de orden uno
Consideramos un problema de condiciones iniciales de la forma
½ y 0 = f(t, y),
y(t0) =y0,
donde la función f : Ω ⊆ Rm+1 → Rm es suficiente regular para que dicho problema tenga solución
única. Como hemos visto hasta ahora, los métodos numéricos de Taylor y Runge—Kutta se basan
en, fijado t1 >t0 y un tamaño de paso h = t1−t0
n , construir una sucesión y0, y1, ..., yn de manera que
sean una aproximación de la solución y(t; t0, y0) en los tiempos ti = t0 + hi. Como hemos puesto de
manifiesto con algunos ejemplos, estos métodos tienen inherentemente asociados unos errores que se
deben a dos causas bien diferenciadas:
• Errores matemáticos debidos al método numérico empleado.
• Errores de redondeo al trabajar los computadores con precesión finita.
En general, los métodos que conocemos son de la forma
yi = yi−1 + hΦ(ti−1, yi−1,h), i=1, ..., n, (2.4)
que dan lugar a los valores y0, y1, ..., yn anteriormente mencionados. En general, dentro de los errores
matemáticos podemos distinguir los siguientes tipos.
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