Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones en diferencias
Así, por ejemplo la sucesión constante xn =1es solución de la ecuación yn+2 = yn. También lo es
la sucesión xn =(−1) n . Como vemos, una ecuación puede tener distintas soluciones, pero ésta es
única si imponemos una serie de k condiciones iniciales. Así, xn =(−1) n es la única solución de la
ecuación ½ yn+2 = yn,
y1 = −1, y2 =1.
Llamaremos a estos problemas de condiciones iniciales, por su analogía con las ecuaciones diferenciales
ordinarias.
Dentro de las ecuaciones en diferencias, tienen un espcial interés las llamadas ecuaciones lineales,
que son de la forma
yn+k + a 1 nyn+k−1 + ... + a k nyn = bn,
donde a 1 n, ..., a k n,bn son sucesiones de números reales. En el caso de que las sucesiones a 1 n, ..., a k n sean
constantes, esto es, a i n = ai para todo n ≥ 0 yparatodoi ∈ {1,...,k}, la ecuación lineal se dirá de
coeficientes constantes. En general, también distinguiremos entre ecuaciones homogéneas si bn =0
para todo n ≥ 0, y no homogéneas en caso contrario. Las ecuaciones
yn+3 + nyn+1 − yn = 1,
yn+2 − yn+1 − yn = 0,
son ecuaciones en diferencia lineales, siendo la primera no homogénea y la segunda homogénea y con
coeficientes constantes.
Las ecuaciones lineales juegan un importante papel en la modelización de circuitos digitales.
Veámoslo con el siguiente ejemplo que proviene de la electrónica (ver [Oga2]). Para fijar ideas,
consideremos el siguiente ejemplo.
Este dispositivo genera una sucesión de salida yk para una sucesión de entrada xk de la siguiente
manera. El elemento marcado con una a dentro de un círculo amplifica el dato de entrada la magnitud
a ∈ R. Por ejemplo
El segundo elemento, una D dentro de un rectángulo, retarda la señal o sucesión de entrada una
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