Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones en diferencias
Podemos estudiar entonces la estabilidad de la ecuación entendiendo ésta de forma análoga al caso
continuo estudiada en el tema anterior, es decir, si para toda solución asociada a una condición inicial
dada se verifica que
lim
k→∞ yk =0.
El siguiente resultado caracteriza la estabilidad del sistema en base a los polos de la función de
transferencia.
Theorem 3 El sistema dado por la ecuación (A.5) es estable si y sólo si todos los polos de la función
de transferencia verifican que |z| < 1.
A.3 Ecuaciones no lineales
Consideremos ahora una ecuación en diferencias de orden k no lineal
yn+k = f(n, yn, ..., yn+k−1),
donde f : Λ ⊆ R k+1 → R es una función continua. Esta ecuación puede reducirse a un sistema
de orden uno de la manera siguiente. Definimos las variables z 1 n = yn, z 2 n = yn+1, ..., z k n = yn+k−1.
Entonces ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
z 1 n+1 = z 2 n,
z 2 n+1 = z 3 n,
............
z k−1
n+1 = z k n,
z k n+1 = f(n, z 1 n+1, ..., z k n+1).
Esto es, si zn =(z 1 n, ..., z k n), entonces de forma compacta el sistema se puede escribir como
donde
zn+1 = f(n, zn)
f(n,z 1 n,...,z k n)=(z 2 n,z 3 n, ..., z k n,f(n, z 1 n+1, ..., z k n+1)).
Si la ecuación o sistema de orden uno no depende explícitamente de n, se dice que dicha ecuación
o sistema es autónomo. Por ejemplo,
es una ecuación autónoma y
yn+1 =4yn(1 − yn−1),
xn+1 = xn + yn,
yn+1 = xn − yn,
es un sistema autónomo de orden uno.
Las ecuaciones y sistemas de orden uno han tenido un reciente desarrollo debido a que son modelos
de ciencias experimentales como la ecología y la economía. Con frecuencia, presentan lo que se conoce
como comprotamiento caótico o complicado.
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