Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodos multipaso
explícito ya que y1 se obtiene directamente como
pX
y1 = ajy−j + h
j=0
pX
bjf(t0 − jh,y−j).
j=0
Sin embargo, si b−1 6= 0entonces el método se dice implícito porque hay que calcular y1 resolviendo
la ecuación (3.1), presumiblemente haciendo uso de algún método numérico para ello.
En general, si tenemos n pasos, h =(tf−t0)/n y ti = t0 +ih, para cada i ∈ {1, ..., n} construimos
pX
pX
yi+1 = ajyi−j + h bjf(ti − jh,yi−j), (3.2)
j=0
j=−1
junto con las condiciones yj, j =0, 1,...,p. Como vemos se trata de una ecuación en diferencias
de orden p quedalugaralaaproximacióndelasolución. Veamosacontinuacióncómoobtenerlos
parámetros del método.
Para ello, consideramos el error local de truncamiento
pX
pX
ti+1 = ajy(ti − jh; t0, y0)+h bjf(ti − jh,y(ti − ih; t0, y0)) − y(ti + h; t0, y0)
=
j=0
pX
ajy(ti − jh; t0, y0)+h
j=0
j=−1
pX
bjy 0 (ti − jh; t0, y0) − y(ti + h; t0, y0),
j=−1
y tomando el desarrollo en serie de Taylor en h =0, tenemos
ti+1 =
pX
pX
ajy(ti − jh; t0, y0)+h bjy 0 (ti − jh; t0, y0) − y(ti + h; t0, y0)
=
j=0
pX
j=0
+h
aj
pX
j=−1
∞X
k=0
bj
j=−1
1
k! yk) (ti; t0, y0)(−1) k (−ih) k
∞X
k=0
j=0
1
k! yk+1) (ti; t0, y0)(−1) k (−ih) k
∞X 1
−
k!
k=0
yk) (ti; t0, y0)h k ,
y reagrupando en distintas potencias de h concluimos que
Ã
pX
!
ti+1 = y(ti; t0, y0) aj − 1 + hy 0 Ã
pX
(ti; t0, y0)
+h 2 y 00 Ã
(ti; t0, y0) −
+h 3 y 3) (ti; t0, y0)
Ã
1
2
+... + h k y k) (ti; t0, y0)
pX
j=−1
pX
j=−1
jbj + 1
2
j 2 bj − 1
6
Ã
(−1) k−1
(k − 1)!
48
pX
j=0
pX
j=0
pX
j=−1
j=−1
j 2 aj − 1
2
!
j 3 aj − 1
6
bj −
!
j k−1 bj + (−1)k
k!
pX
!
iaj − 1
j=0
pX
j=0
j k aj − 1
!
+ ...
k!