Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

con lo que agrupando
1
z − 1 − i
1
z − 1+i
y teniendo en cuenta que
obtenemos
yportanto
= 1
z
= 1
z
1
1 − 1+i
z
1
1 − 1−i
z
z
(z − 1)(z 2 − 2z +2) =
=
= 1
z
= 1
z
n=1
∞X
µ
1+i
n=0
z
∞X
µ
1 − i
n=0
z
n
n
=
=
Ecuaciones en diferencias
∞X
n−1 1
(1 + i) ,
zn n=1
∞X
n−1 1
(1 − i) ,
zn n=1
∞X
∞X
∞X
1 1
n 1 1
n 1
− (1 + i) − (1 − i)
zn 2
zn 2
z
n=1
n=1
n
∞X
µ
1 − 1
2 (1 + i)n − 1
1
(1 − i)n ,
2 zn n=1
(1 + i) n = 2 n/2 (cos nπ
4
(1 − i) n = 2 n/2 (cos nπ
4
z
(z − 1)(z 2 − 2z +2) =
n=1
nπ
+ i sin
4 ),
nπ
− i sin
4 ),
∞X ³
1 − 2 n/2 cos nπ
´
1
,
4 zn xn =1− 2 n/2 cos nπ
4 .
A.2.4 Fórmula de inversión compleja
Supongamos que
Z[xk](z) =
∞X
xkz −k ,
y multipliquemos ambos miembros de la igualdad por z n−1 ,dedonde
Z[xk](z)z n−1 =
k=0
∞X
xkz n−k−1 .
Supongamos una circunferencia del plano complejo γ que contiene todas las singularidades de la
función Z[xk](z)z n−1 ,paratodon ≥ 1. Por la fórmula integral de Cauchy
k=0
Z
1
Z[xk](z)z
2πi γ
n−1 dz = 1
Z
2πi γ
(∗) = 1
2πi
103
∞X
xkz n−k−1 dz
k=0
∞X
Z
k=0
γ
xkz n−k−1 dz = xn,