Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

ysifijamos a−1 =0, podemos escribir de forma más compacta
Ã
pX
!
∞X 1
ti+1 = y(ti; t0, y0) aj − 1 +
k! hky k) Ã
(ti; t0, y0) (−1) k
j=0
k=1
Métodos multipaso
pX
j k−1 !
(jaj − kbj) − 1 ,
con lo que el error local de truncamiento será de orden O(hq+1 ) si se satisfacen las ecuaciones
pX
(−1) k
j=0
aj =1,
j=−1
pX
j k−1 (jaj − kbj) =1,k=1, 2, ..., q.
j=−1
Veamos algunos ejemplos concretos de métodos multipaso.
3.3 Primeros ejemplos
Vamos a construir un método multipaso de 2 pasos y de orden 3. Supongamos en primer lugar que
el método es explícito, esto es b−1 =0. Será entonces un método de la forma
satisfaciendo el sistema de ecuaciones ⎧⎪ ⎨
yi+1 = a0yi + a1yi−1 + hb0f(ti, yi)+hb1f(ti − h, yi−1),
⎪⎩
a0 + a1 =1,
−a1 + b0 + b1 =1,
a1 − 2b1 =1,
−a1 +3b1 =1,
de donde b1 =2, a1 =5, b0 =4y a0 = −4, de donde
yi+1 = −4yi +5yi−1 +4hf(ti, yi)+2hf(ti − h, yi−1).
Si elegimos un método implícito, esto es,
yi+1 = a0yi + a1yi−1 + hb−1f(ti + h, yi+1)+hb0f(ti, yi)+hb1f(ti − h, yi−1),
el sistema de ecuaciones anterior es de la forma
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a0 + a1 =1,
−a1 + b−1 + b0 + b1 =1,
a1 +2b−1 − 2b1 =1,
−a1 +3b−1 +3b1 =1,
que es un sistema compatible indeterminado cuya solución es
⎧
a0 =1− λ,
⎪⎨ a1 = λ,
b−1 =
⎪⎩
5 − λ, 12
b0 = 2
λ ∈ R,
− 3λ, 3
b1 = − 1
12 +5λ,
49