Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodosdeunpaso
+ 1
µ
2
c 2 ∂
3
2
∂t2 f(ti−1, yi−1)+2c3 (a31 + a32) ∂2
+(a31 + a32) 2 ∂2 ∂y2 f(ti−1, yi−1)f(ti−1, yi−1) 2
µ
+
∂
2a32
∂y f(ti−1, yi−1)
+O(h 2 )
µ
∂
∂t∂y f(ti−1, yi−1)f(ti−1, yi−1)
c2
∂t f(ti−1, yi−1)+a21f(ti−1, yi−1) ∂
∂y f(ti−1, yi−1)
h 2
Introduciendo los desarrollos de Taylor de G2 y G3 en la ingualdad (2.9), y comparando con el
desarrollo de Taylor de orden 2 (2.10), obtenemos las ecuaciones
⎧
⎪⎨
⎪⎩
b1 + b2 + b3 =1,
b2c2 + b3c3 = 1
2 ,
b2a21 + b3(a31 + a32) = 1
2 ,
b2c2 2 + b3c2 3 = 1
3 ,
b2c2a21 + b3c3 (a31 + a32) = 1
3 ,
b2a2 21 + b3 (a31 + a32) 2 = 1
3 ,
b3a32c2 = 1
6 ,
b3a32a21 = 1
6 .
Delasdosúltimasobtenemosquec2 = a21 con lo que usando la segunda y tercera, llegamos a
c3 = a31 + a32. Entonces la quinta y sexta ecuaciones se simplifican a
b2c 2 2 + b3c 2 3 = 1
3
que es la cuarta, y la última ecuación es la antepenúltima, con lo que el sistema reducido de ecuaciones
nos queda
⎧
b1 + b2 + b3 =1,
c2 ⎪⎨
= a21,
c3 = a31 + a32,
b2c2 + b3c3 =
⎪⎩
1
2 ,
b2c2 2 + b3c2 3 = 1
3 ,
b3a32c2 = 1
6 ,
que nos dan los métodos de Runge—Kutta de orden 3, que es una familia biparamétrica de métodos
numéricos. Si tomamos c2 y c3 como parámetros, tenemos de las ecuaciones
½
b2c2 + b3c3 = 1
2 ,
b2c2 2 + b3c2 3 = 1
3 ,
que
b2 =
¯
¯
1
2 c3
1
3 c 2 3
¯ c2 c3
c2 2 c2 3
¯
¯
42
= c3
¡
c3
2
¢
1 − 3
c2c3(c3 − c2)