Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

y
por lo que
Res(f(z)z n−1 , −i) =
z
lim (z + i)
z→−i n−1
(z − i)(z + i)
=
z
lim
z→−i
n−1 1
= −
(z − i) 2i (−i)n−1 = 1
2 (−i)n ,
Ecuaciones en diferencias
xn = − 1
2 in + 1
2 (−i)n .
Expresando los números complejos en forma trigonométrica y utilizando la fórmula de De Moivre,
obtenemos
xn = − 1
2 in + 1
2 (−i)n
= − 1 π π
(cos + i sin
2 2 2 )n + 1 −π −π
(cos + i sin
2 2 2 )n
= − 1 nπ nπ
(cos + i sin
2 2 2 )+1
−πn −πn
(cos + i sin
2 2 2 ),
ydadoque
sin nπ πn
= − sin
2 2
y
cos nπ −πn
= − cos
2 2
obtenemos
xn = − cos nπ
2 .
A.2.5 Funciones de transferencia.
La función de transferencia asociada a la transformada Z se define de forma análoga a la función de
transferenciaasociadaalatransformadadeLaplace. Consideremos en este contexto una ecuación
en diferencias finitasdelaforma
anyk+n + an−1yk+n−1 + ... + a1yk+1 + a0yk = xk, (A.5)
siendo ai ∈ R, 0 ≤ i ≤ n. Entonces, suponiendo que yi =0i