Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodos multipaso
=
pX
µ
s + j − 1
j
j=0
con lo que, como s = t−xi+1
h
Desarrollando, obtenemos
donde
∇ j f(ti+1, yi+1),
, reescribimos
yi+1 = yi +
Z ti+1
ti
Z 0
yi+1 = yi + h
q ∗ Z 0
(t)dt = yi + h q
−1
∗ (xi + sh)ds.
q(xi + sh)ds
−1
ÃZ 0 pX
µ
s + j − 1
= yi + h
−1 j
j=0
Ã
pX
= yi + h
= yi + h
γ ∗ 0 = 1,
γ ∗ j =
y el error local de truncamiento es
∇
j=0
j Z 0
f(ti+1, yi+1)
−1
pX
j=0
Z 0
−1
Losprimeroscoeficientes son en este caso
γ ∗ j∇ j f(ti+1, yi+1),
µ
s + j − 1
j
∇ j !
f(ti+1, yi+1)ds
µ
s + j − 1
j
ds, j =1, 2,...,p,
ti+1 = −h p+2 γ ∗ p+1y p+2 (ti; t0, y0)+O(h p+3 ).
γ∗ 1 γ∗ 2 γ∗ 3 γ∗ 4 γ∗ 5 γ∗ 6
− 1 1 1 19 3 863
− − − − − 2 12 24 720 160 60480
Tomando p =2obtenemoselmétododedospasosyordentres
µ
yi+1 = yi + h
!
ds
f(ti+1, yi+1) − 1
2 ∇f(ti+1, yi+1) − 1
12 ∇2 f(ti+1, yi+1)
= yi + h
12 (5f(ti+1, yi+1)+8f(ti, yi) − f(ti−1, yi−1)) .
Alahoradeaproximaryi+1, démonos cuenta de que si definimos
pX
G(yi+1) = yi + h
= yi + h
j=0
pX
j=0
54
γ ∗ j∇ j f(ti+1, yi+1),
β ∗
jf(ti+1−j, yi+1−j),