Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodosdeunpaso
donde O(hn ) es denota una función g(h) para la cual existe una constante positiva k tal que |g(h)| ≤
k|hn |.Entonces
y(t0; t0, y0) =y0,
y 0 (t0; t0, y0) =f(t0, y0) =f1(t0, y0),
y 00 (t0; t0, y0) = d
dt y0 (t0; t0, y0) = d
dt f1(t0, y0)
= ∂
∂t f1(t0, y0)+ ∂
∂y f1(t0, y0)y 0 (t0; t0, y0)
= ∂
∂t f1(t0, y0)+ ∂
∂y f1(t0, y0)f(t0, y0)
= f2(t0, y0),
donde por ∂
∂y f1(t0, y0) denotamos el gradiente de f1(t0, y0).
y 3) (t0; t0, y0) = d
dt y00 (t0; t0, y0) = d
dt f2(t0, y0)
= ∂
∂t f2(t0, y0)+ ∂
∂y f2(t0, y0)y 0 (t0; t0, y0)
= ∂
∂t f2(t0, y0)+ ∂
∂y f2(t0, y0)f(t0, y0)
= f3(t0, y0).
Inductivamente, si y n−1) (t0; t0, y0) =fn−1(t0, y0), entonces
y n) (t0; t0, y0) = d
dt yn−1) (t0; t0, y0) = d
dt fn−1(t0, y0)
= ∂
∂t fn−1(t0, y0)+ ∂
∂y fn−1(t0, y0)y 0 (t0; t0, y0)
= ∂
∂t fn−1(t0, y0)+ ∂
∂y fn−1(t0, y0)f(t0, y0)
= fn(t0, y0).
Así, sustituyendo en la fórmula original
con lo que
y(t1; t0, y0) = y0 + 1
1! f1(t0, y0)h + 1
2! f2(t0, y0)h 2 + ... +
+ 1
n! fn(t0, y0)h n + O(h n ),
y1 = y0 + 1
1! f1(t0, y0)h + 1
2! f2(t0, y0)h 2 + ... + 1
n! fn(t0, y0)h n
es una aproximación de y(t1; t0, y0), esto es
y(t1; t0, y0) ≈ y1 = y0 + 1
1! f1(t0, y0)h + 1
2! f2(t0, y0)h 2 + ... + 1
n! fn(t0, y0)h n . (2.2)
Veamos qué forma particular tiene esta aproximación para diferentes valores de n.
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