Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

y en general
Como
||ei|| ≤ ||e0||(1 + hL) i Xi−1
+ M (1 + hL) j .
j=0
Xi−1
(1 + hL) j = (1 + hL)i − 1
,
hL
j=0
sustituyendo en la expresión anterior,
De la noción de exponencial real tenemos que
y teniendo en cuenta que e0 = 0, concluimos que
||ei|| ≤ ||e0||(1 + hL) i + M (1 + hL)i − 1
hL
= (1+hL) i
µ
||e0|| + M
−
hL
M
hL .
0 ≤ (1 + hL) i ≤ e hLi ,
Métodosdeunpaso
||ei|| ≤ M
hL (ehLi − 1).
Ahora bien ih = tf −t0, donde tf es el tiempo final donde deseamos conocer la solución de la ecuación
diferencial, por lo que
||ei|| ≤ M
hL (eL(tf −t0)
− 1).
Como por otra parte, M = Ahn+1 donde A>0 [M ≈ O(hn+1 )], tenemos que
||ei|| ≤ Bh p ,
por lo que acabamos de probar el siguiente resultado:
Theorem 2 Si ||ti|| ≈ O(h n+1 ) entonces ||ei|| ≈ O(h n ).
2.4.4 Relación entre el error local y el error local de truncamiento
Ambos errores son muy parecidos en magnitud. Como se puede comprobar
li = yi − y(ti; ti−1, yi−1)
= yi−1 + hΦ(ti−1, yi−1,h) − X
j≥0
Ã
= h Φ(ti−1, yi−1,h) − X hj−1 j≥1
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h j
j! yj) (ti−1; ti−1, yi−1)
j! yj) (ti−1; ti−1, yi−1)
!
.