Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodos multipaso
3.4.1 Métodos de Adams—Bashforth
Para cosntruir estos métodos utilizamos la forma de Newton del polinomio interpolador dada por la
diferencias finitas. Dada la sucesión xi, sedefinen
yparak>1,
Por ejemplo
y
∇ 1 xi = ∇xi = xi − xi−1,
∇ k xi = ∇ k−1 xi −∇ k−1 xi−1.
∇ 2 xi = ∇xi −∇xi−1 =(xi − xi−1) − (xi−1 − xi−2) =xi − 2xi−1 + xi−2,
∇ 3 xi = ∇ 2 xi −∇ 2 xi−1
= (xi−2xi−1 + xi−2) − (xi−1 − 2xi−2 + xi−3)
= xi − 3xi−1 +3xi−2 − xi−3.
Por convenio, estableceremos que ∇ 0 xi = xi.
Si t = ti + sh, el polinomio de interpolación tiene la forma
µ
s +1
q(t) = f(ti, yi)+s∇f(ti, yi)+
2
pX
µ
s + j − 1
=
∇
j
j f(ti, yi),
j=0
donde µ m
k
para m ∈ R y k ∈ N, y
= m(m − 1)...(m − k +1)
∇ 2 µ
s + p − 1
f(ti, yi)+... +
p
k!
µ m
0
Además, el error del polinomio de interpolación
E(t) =
Como s = t−xi , reescribimos
h
µ s + p
p +1
yi+1 = yi +
=1.
h p+1 f p+1) (ti, y(ti; t0, y0)) + O(h p+2 ).
Z ti+1
ti
q(t)dt = yi + h
52
Z 1
0
q(xi + sh)ds.
∇ p f(ti, yi)