Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Introducción a las ecuaciones diferenciales
con lo que C =75. Porotraparte,comoalminutodehaberservidoelcafélatemperaturadeéste
había descendido hasta los 85 0 C tenemos que
85 = y(1) = 75e −K +20,
que permite obtener el valor de la constante K =log(13/15). La función
y(t) =75e t log(13/15) +20
define entonces la evolución de la temperatura de la taza de café con el tiempo. Para averiguar el
momentoenelcuallatemperaturadedichatazaesde65 0 C basta resolver la ecuación
65 = 75e t log(13/15) +20,
quedalasolución
t = log(9/15)
=3.57 minutos.
log(13/15)
Es decir, aproximadamente unos tres minutos y medio después de haber servido el café.
Aplicación a la climatización de edificios
Supongamos que tenemos un edificio que en un principio vamos a considerar como una unidad, es
decir, no vamos a tener en cuenta el número de habitaciones que tiene (ya veremos posteriormente
este caso). Si T (t) es la temperatura del edificio vacío en un instante de tiempo t y E(t) es la
temperatura en el exterior (que puede ser variable), la ley de Newton afirma que
T 0 (t) =K(E(t) − T (t)).
Si suponemos constante E(t) =E0, entonces la ecuación puede escribirse como
T 0 (t) = dT d
(t) =
dt dt (T (t) − E0) =−K(T (t) − E0),
que nos proporciona la solución
T (t) − E0 = ce −Kt ; c ∈ R.
Si T (0) es la temperatura inicial del edificio c = T (0) − E0 ylasoluciónes
T (t) − E0 =(T (0) − E0)e −Kt .
El tiempo que transcurre desde el valor T (0) − E0 hasta el valor (T (0) − E0)/e es t0 =1/K, que
recibe el nombre de constante de tiempo del edificio, y que suele medirse en horas. Un valor normal
para un edificiocerradooscilaentrela2ylas4horasparalaconstante1/K.
Si el edificio no esta vacío se produce un calentamiento adicional debido al calor corporal, luces,
máquinas en funcionamiento, etcétera, cuya razón denotaremos por H(t). Si adicionalmente el edificio
dispone de un sistema de calefacción o de aire acondicionado, se produce un aumento o disminución
de la temperatura que denotaremos por U(t). Entonces, la ecuación anterior queda como
T 0 (t) =K(E(t) − T (t)) + H(t)+U(t),
que escribiéndola como
T 0 (t) =−KT(t)+(KE(t)+H(t)+U(t))
vemos claramente que es lineal.
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