Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

si |z| > 1. Entonces la sucesión
xk = Z −1 [1/(z − 1)] = (0, 1, 1, 1, ...).
Ecuaciones en diferencias
A.2.3 Aplicación a la resolución de la ecuación en diferencias lineales
con coeficientes constantes
Consideramos el problema ½
yk+2 + yk+1 − 2yk =1;
y0 =0,y1 =1,
obtenido anteriormente. Tomando la transformada Z en la ecuación, usando las propiedades de ésta
y tomando en consideración las condiciones iniciales obtenemos
y desarrollando
Por otra parte
Entonces
con lo que
Pasamos a fracciones simples
Z[yk+2 + yk+1 − 2yk](z) =Z[1](z),
Z[yk+2 + yk+1 − 2yk](z) = Z[yk+2](z)+Z[yk+1](z) − 2Z[yk](z)
= z 2 Z[yk](z) − z + zZ[yk](z) − 2Z[yk](z)
= (z 2 + z − 2)Z[yk](z) − z.
Z[1](z) = z
z − 1 .
(z 2 + z − 2)Z[yk](z) =z + z z2
=
z − 1 z − 1 ,
Z[yk](z) =
z 2
(z 2 + z − 2)(z − 1) .
z
Z[yk](z) =
2
(z − 1) 2 −1 3 4
= − +
(z +2) (z − 1) 2 z − 1 z +2 ,
y calculamos la transformada inversa obteniendolosdesarrollosenseriesdeLaurent
1 1 1
=
z +2 z 1 − −2 =
z
1
∞X
µ n ∞X
−2 (−2)
=
z z
n
zn+1 si |z| > 2.
1
z − 1
= 1
z
1
1 − 1
z
n=0
= 1
z
∞X
n=0
1
=
zn si |z| > 1. Finalmente
µ
−1 d 1
= =
(z − 1) 2 dz z − 1
d
Ã
∞X
1
dz zn+1 !
=
n=0
101
∞X
n=0
∞X
n=0
n=0
d
dz
1
z n+1
1
= −
zn+1 ∞X
n=0
n +1
z n+2