Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Demostración. Basta calcular
Z[αxk + βyk](z) =
∞X αxn + βyn
z
n=0
n
=
∞X
α
∞X
n=0
xn
+ β
zn n=0
Ecuaciones en diferencias
yn
= αZ[xk](z)+βZ[yk](z).
zn • Dada la sucesión xk, definimos la nueva sucesión yk = xk+1. Entonces
Z[yk](z) =Z[xk+1](z) =zZ[xk](z) − zx0.
En general, si k0 ∈ N ydefinimos yk = xk+k0, tenemos la fórmula
Demostración. Calculamos
Z[xk+1](z) =
Z[xk+k0](z) =z k0 Z[xk](z) −
= z
= z
∞X
n=0
∞X
n=0
∞X
n=0
xn+1
z n
• Dada la sucesión xk y a ∈ C \{0}, severifica
Dmostración. Calculamos
Z[a k xk](z) =
xn+1
= z
zn+1 ∞X
n=1
k0−1 X
xn
z n
n=0
xnz k0−n .
xn
z n − zx0 = zZ[xk](z) − zx0.
Z[a k xk](z) =Z[xk](z/a).
∞X
n=0
anxn =
zn Por ejemplo, si xk =(1, 2, 2 2 , 2 3 , ...), setieneque
Z[2 k ](z) =
∞X
n=0
∞X
n=0
2n 1
=
zn 1 − 2
z
99
xn
= Z[xk](z/a).
(z/a) n
= z
z − 2 .