Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodosdeunpaso
por ser y(ti−1; t0, y0) solución de la ecuación diferencial. Básicamente, la consistencia indica que ||ti||
es al menos O(h 2 ). Diremos que un método es consistente de orden n si es consistente y el error local
de truncamiento es de orden O(h n+1 ).
Vamos a analizar este último tipo de error para los método numéricos que conocemos.
2.4.1 Error local de truncamiento en el método de Taylor
RecordemosqueelmétododeTayloresdelaforma
yi = yi−1 + 1
1! f1(ti−1, yi−1)h + 1
2! f2(ti−1, yi−1)h 2 + ... + 1
n! fn(ti−1, yi−1)h n
= yi−1 +
nX
j=1
h j
j! fj(ti−1, yi−1).
Entonces, el error local de truncamiento es
ti = y(ti−1; t0, y0)+hΦ(ti−1, y(ti−1; t0, y0),h) − y(ti; t0, y0)
=
nX hj j! yj) ∞X h
(ti−1; t0, y0) −
j
j! yj) (ti−1; t0, y0)
j=1
= −
=
∞X
j=n+1
h j
j! yj) (ti−1; t0, y0)
j=1
h n+1
(n +1)! yn+1) (ti−1 + ηh; t0, y0),
con η ∈ (0, 1). Entonces, existe A>0 de manera que
oequivalentemente
||ti|| ≤ Ah n+1 ,
||ti|| = O(h n+1 ),
con lo que el método de Taylor truncado en el paso n es de orden n +1.
2.4.2 Error local de truncamiento en los métodos de Runge—Kutta
Por simplicidad, vamos a considerar sólamente los métodos de dos etapas dados por
⎧
⎨
donde a21 = c2 = 1
2b2 y b1 =1− b2. Entonces
⎩
g1 = hf(ti−1, yi−1),
g2 = hf(ti−1 + c2h, yi−1 + a21g1),
yi = yi−1 + b1g1 + b2g2,
Φ(t, y,h)=b1f(t, y)+b2f(t + c2h, y + a21hf(t, y)).
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