Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodosdeunpaso
Definimos el error global de la solución aproximada como
ei = yi − y(ti; t0, y0), i=0, 1,...,n,
y el método numérico en cuestión se dirá convergente si
lim
h→0 max
0≤i≤n ||ei|| =0.
Básicamente,laconvergenciaimplicaqueelerrorglobaltiendeacerocuandolohaceeltamañode
paso.
Otro concepto importante es el de consistencia. Un método numérico dado por (2.4) se dice
consistente si
Φ(t, y, 0) = f(t, y). (2.5)
Porejemplo,enelcasodelosmétodosdeTaylordeordenn, lafuncióndadapor(2.5)es
nX h
Φ(t, y, 0) =
j−1
j! yj) = y 0 = f(t, y).
En el caso de los métodos de Runge—Kutta, dicho método es consistente si
nX
j=1
bj =1.
j=1
En el estudio del error global de un método, tienen gran importancia dos errores locales que a
continuación describimos. Se llama error local del paso i como
li = yi − y(ti; ti−1, yi−1),
es decir, la diferencia entre el valor proporcionado por el método yi y el valor exacto proporcionado
por la solución exacta del problema de condiciones iniciales
½
0 y = f(t, y),
y(ti−1) =yi.
El último tipo de error local que vamos a introducir es lo que llamaremos el error local de
truncamiento, que definimos como
ti = y(ti−1; t0, y0)+hΦ(ti−1, y(ti−1; t0, y0),h) − y(ti; t0, y0),
es decir, aquel error que se obtendría al sustituir la solución real del problema de condiciones iniciales
y(t; t0, y0) en el método numérico implementado
yi = yi−1 + hΦ(ti−1, yi−1,h).
Si el método numérico es consistente, entonces el error de local de truncaminento converge a cero
cuando se divide por h. Enefecto
ti
lim
h→0 h
y(ti−1; t0, y0) − y(ti−1 + h; t0, y0)
= lim
h→0
h
+ lim Φ(ti−1, y(ti−1; t0, y0),h)
h→0
= −y 0 (ti−1; t0, y0)+f(ti−1, y(ti−1; t0, y0)) = 0,
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