Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

por lo que
||G(y) − G(z)|| = h|β ∗
0|||f(ti+1, y) − f(ti+1, z)||
≤ h|β ∗
0|L||y − z||,
Métodos multipaso
dado que f es Lispchitziana en la variable y. Así, para que se pueda aplicar el Teorema del punto
fijo a G hemosdeelegirtamañosdepasoh suficientemente pequeños para que
h|β ∗
0|L t0, yh = t1−t0
n .Seayi+1 la aproximación de y(tt+1; t0, y0) dada por el método multipaso
yi+1 =
pX
ajyi−j + h
j=0
pX
bjf(ti − jh,yi−j), (3.3)
donde los coeficientes se han escogido de manera que el error local de truncamiento es O(hk ), k ≤ p+1.
Como sabemos, la convergencia local no implica necesariamente la convergencia global. Vamos a ver
qué propiedad adicional hemos de añadir a la convergencia local para que el método sea globalmente
convergente.
Para ello, aplicamos el método al problema
½
0 y = 0,
y(0) = y0,
con lo que el método multipaso queda como
oequivalentemente
yi+1 =
j=0
pX
j=0
ajyi−j,
yi+1 − a0yi − a1yi−1 − ... − apyi−p =0,
que es una ecuación en diferencias lineal cuyo polinomio característico es
p(λ) =λ p+1 − a0λ p − ... − ap.
Por la condición de convergencia local, sabemos que
p(1) = 1 −
55
pX
j=0
aj =0,