Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Introducción a las ecuaciones diferenciales
es tal que f1(x, y1,y2,y3) =xy1 + y 2 2 − y3, f2(x, y1,y2,y3) =x + y1 + y2y3 y f3(x, y1,y2,y3) =y1y2y3
son funciones definidas en R 4 , continuas y las derivadas parciales de cada función respecto de y1,y2
e y3 son continuas. Entonces este problema de condiciones iniciales tiene solución única, aunque no
tengamos ni idea de cómo calcularla.
El Teorema 1 tiene una aplicación inmediata a los problemas de condiciones iniciales de orden n.
Por ejemplo, consideremos el problema
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y n) = f(x, y, y 0 , ..., y n−1) );
y(x0) =y0;
y 0 (x0) =y 0 0;
.
y n−1) (x0) =y n−1)
0
y introduzcamos las variables y1 = y, y2 = y 0 , y3 = y 00 ,...yn = y n−1) , con las que el sistema anterior
queda como
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y 0 1 = y2;
y 0 2 = y3;
.
y 0 n−1 = yn;
y 0 n = f(x, y1,y2, ..., yn);
y1(x0) =y0,y2(x0) =y0 0,...,yn(x0) =y n−1)
0 ,
y entonces el Teorema 1 nos garantiza la existencia y unicidad de soluciones siempre que la función
f sea continua y de clase C1 respecto de las variables y1, ..., yn, esdecir,lafunciónyysusn−1 primeras derivadas.
1.4 Modelos de la química descritos por una ecuación
1.4.1 Descomposición radioactiva
Consideremos un isótopo radioactivo del cual tenemos una cantidad y(t) que varía con el tiempo
t. Una sustancia radioactiva tiende a descomponerse con el tiempo formando nuevas sustancias
y liberando a su vez una gran cantidad de energía. Se ha comprobado experimentalmente que la
velocidad con que una sustancia radioactiva se descompone es directamente proporcional a la cantidad
de sustancia existente en dicho instante, es decir, satisface la ecuación diferencial
y 0 = Ky
donde K es una constante que depende de la sustancia considerada. Esta ecuación es de variables
separadas, y proporciona las soluciones
con C la constante proveniente de la integración.
,
y(t) =Ce Kt ,
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