Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

yqueremosaproximary(1; 0, 1), estoestf =1, y aplicamos el método
½ yi+1 = −4yi +5yi−1 +4hyi +2hyi−1,
y0 =1,y1,
Métodos multipaso
donde y1 lo hemos elegido a partir de un método de Runge—Kutta de orden 3 para un tamaño de
paso prefijado h, vemos que la aproximación empieza a oscilar, con lo cual, a pesar de tener una
aproximación local de orden 3, el error global crece de forma dramática. Veremos qué ocurre con
este método, pero antes veamos cómo deducir los métodos de multipaso a partir de la integración
numérica.
3.4 Métodos de multipaso deducidos a partir de la integración
numérica
Partamos de la ecuación diferencial ½
0 y = f(t, y),
y(t0) =y0,
ybuscamosaproximary(tf; t0, y0). Para ello fijamos h =(tf − t0)/n y ti = t0 + hi, i =0, 1, ..., n.
Integrando respecto de la variable independiente
y(ti+1; t0, y0) − y(ti; t0, y0) =
Z ti+1
ti
y 0 (t; t0, y0)dt =
Z ti+1
ti
f(t, y(t; t0, y0))dt.
Si queremos cosntruir un método de p pasos, sustituimos f(t, y(t; t0, y0)) por un polinomio de interpolación
de grado p, que denotaremos Q(t), y que cumplirá la condición
Q(ti − jh) =f(ti − jh,y(ti − jh; t0, y0)), j= i − p, ..., i.
Este polinomio de interpolación verifica que
f(t, y(t; t0, y0)) = Q(t)+E(t),
donde E(t) es el error cometido al aproximar la función por el polinomio interpolador, y que será
clave a la hora de determinar el error local cometido en la aproximación. El método numérico que
hemosdeconstruirtendrálaforma
yi+1 = yi +
Z ti+1
ti
q(t)dt,
donde
q(ti − jh) =f(ti − jh,yi−j), j= i − p, ..., i,
es decir, el polinomio interpolador sobre los datos anteriores que serán conocidos. El error local de
truncamiento será en este caso
Z Z ti+1
ti+1
ti+1 = y(ti; t0, y0)+ Q(t)dt − y(ti+1; t0, y0) =− E(t)dt,
ti
es decir, dependerá del error que se comete al calcular el polinomio interpolador.
Vamos a ver a continuación cómo se construyen los métodos de multipaso explícitos e implícitos.
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ti