Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodosdeunpaso
Ahora bien
ti = y(ti−1; t0, y0)+hΦ(ti−1, y(ti−1; t0, y0),h) − y(ti; t0, y0)
=
∞X h
y(ti−1; t0, y0)+hΦ(ti−1, y(ti−1; t0, y0),h) −
j=0
j
j! yj) =
(ti−1; t0, y0)
Ã
∞X h
h Φ(ti−1, y(ti−1; t0, y0),h) −
j−1
j! yj) !
(ti−1; t0, y0)
= h3
3! y3) (ti−1 + ηh; t0, y0),
debido a los valores de los coeficientes del método de Runge—Kutta, siendo η ∈ (0, 1). De esta
manera, vemos que
||ti|| = O(h 3 ).
En general, el error local de truncamiento en un método de Runge—Kutta de n pasos es O(hn+1 ).
2.4.3 Relación entre el error local de truncamiento y el error global
Vamosavercómopodemoscontrolarelerrorglobalapartirdelerrorlocaldetruncamiento.Como
sabemos
ei = yi − y(ti; t0, y0).
Entonces
ei = yi−1 + hΦ(ti−1, yi−1,h)+ti − y(ti−1; t0, y0) − hΦ(ti−1, y(ti−1; t0, y0),h)
= ti + ei−1 + h (Φ(ti−1, yi−1,h) − Φ(ti−1, y(ti−1; t0, y0),h)) .
Sea M>0 tal que ||ti|| 0, obtenemos la acotación
j=1
||ei|| ≤ M + ||ei−1|| + h||Φ(ti−1, yi−1,h) − Φ(ti−1, y(ti−1; t0, y0),h)||. (2.6)
Supongamos ahora que Φ satisface una condición de Lipschitz con constante L>0 en la variable
y, esto es
||Φ(ti−1, yi−1,h) − Φ(ti−1, y(ti−1; t0, y0),h)|| ≤ L||yi−1 − y(ti−1; t0, y0)||,
con lo que la expresión (2.6) se reduce a
||ei|| ≤ M + ||ei−1|| + h||Φ(ti−1, yi−1,h) − Φ(ti−1, y(ti−1; t0, y0),h)||
≤ M + ||ei−1|| + hL||yi−1 − y(ti−1; t0, y0)||
= M + ||ei−1||(1 + hL).
Aplicando la anterior desigualdad para i ≥ 1 tenemos
||e1|| ≤ ||e0||(1 + hL)+M,
||e2|| ≤ ||e1||(1 + hL)+M
≤ ||e0||(1 + hL) 2 + M(1 + (1 + hL)),
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