Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Introducción a las ecuaciones diferenciales
1.4.3 Problemas de mezclas químicas.
Las ecuaciones diferenciales también tienen aplicación dentro de los problemas de mezclas. En estos
problemas aparecen involucradas sustancias, las cuales se mezclan dentro de un recipiente de volumen
dado V0. Supongamos que inicialmente teníamos una cantidad de X0 kilogramos de una sustancia
diluida en una concentración de X0/V0 Kg/m 3 , y que introducimos otra solución que contiene una
concentración bKg/m 3 de dicha sustancia la cual es introducida en el recipiente a una velocidad de
em 3 /sg. Además sacamos parte de la solución que se produce dentro del recipiente a una velocidad
de fm 3 /sg. Si denotamos por y(t) la cantidad de sustancia en cuestión dentro del recipiente por
unidad de tiempo, tenemos que la variación de dicha cantidad viene dada por
y 0 = ve − vs,
donde ve y vsson las velocidades de entrada y salida de dicha sustancia respectivamente. Como
ve = be Kg/sg y vs = f · y(t)/V (t) Kg/sg donde V (t) =V0 + et − ft es el volumen de disolución en
el recipiente por unidad de tiempo, el problema de condiciones iniciales
y0 = be −
y(0) = X0
y
V0+et−ft f
modeliza la cantidad de sustancia que hay en el recipiente por unidad de tiempo.
Por ejemplo, supongamos una tanque que contiene originalmente 400 litros de agua limpia. Vertemos
en el tanque agua que contiene 0.05 kilogramos de sal por litro a una velocidad de 8 litros
por minuto, y se deja que la mezcla salga del recipiente a la misma rapidez. Vamos a determinar la
cantidaddesalquehabráenelrecipientealcabode20minutos. Paraello,teniendoencuentaque
el volumen se mantiene constante, planteamos el problema de condiciones iniciales
y 0 =0.4 − y
400
y(0) = 0.
La ecuación diferencial implicada es lineal. La ecuación homogénea y0 = y
tiene por solución
400
y(t) =Ket/400 , donde K es la constante procedente de la integración. Por el método de variación
de constantes calculamos la solución de la ecuación no homogénea imponiendo que y(t) =K(t)et/400 sea solución de la misma. Entonces
con lo que
K 0 (t)e t/400 + K(t) et/400
400
Z
K(t) =0.4
Así la solución de la ecuación diferencial será
Además, como y(0) = 0, tenemos que
¾
¾
=0, 4+K(t)et/400
400 ,
e −t/400 dt = −160e −t/400 + C.
y(t) =−160 + Ce t/400 .
0=−160 + C,
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