Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ecuaciones en diferencias Podemos estudiar entonces la estabilidad de la ecuación entendiendo ésta de forma análoga al caso continuo estudiada en el tema anterior, es decir, si para toda solución asociada a una condición inicial dada se verifica que lim k→∞ yk =0. El siguiente resultado caracteriza la estabilidad del sistema en base a los polos de la función de transferencia. Theorem 3 El sistema dado por la ecuación (A.5) es estable si y sólo si todos los polos de la función de transferencia verifican que |z| < 1. A.3 Ecuaciones no lineales Consideremos ahora una ecuación en diferencias de orden k no lineal yn+k = f(n, yn, ..., yn+k−1), donde f : Λ ⊆ R k+1 → R es una función continua. Esta ecuación puede reducirse a un sistema de orden uno de la manera siguiente. Definimos las variables z 1 n = yn, z 2 n = yn+1, ..., z k n = yn+k−1. Entonces ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ z 1 n+1 = z 2 n, z 2 n+1 = z 3 n, ............ z k−1 n+1 = z k n, z k n+1 = f(n, z 1 n+1, ..., z k n+1). Esto es, si zn =(z 1 n, ..., z k n), entonces de forma compacta el sistema se puede escribir como donde zn+1 = f(n, zn) f(n,z 1 n,...,z k n)=(z 2 n,z 3 n, ..., z k n,f(n, z 1 n+1, ..., z k n+1)). Si la ecuación o sistema de orden uno no depende explícitamente de n, se dice que dicha ecuación o sistema es autónomo. Por ejemplo, es una ecuación autónoma y yn+1 =4yn(1 − yn−1), xn+1 = xn + yn, yn+1 = xn − yn, es un sistema autónomo de orden uno. Las ecuaciones y sistemas de orden uno han tenido un reciente desarrollo debido a que son modelos de ciencias experimentales como la ecología y la economía. Con frecuencia, presentan lo que se conoce como comprotamiento caótico o complicado. 106
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