Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodos multipaso
Como µ
s + j − 1
j
se tiene que
de donde
= (s + j − 1)(s + j − 2)...(s +1)s
g 0 j(0) =
pX
j=1
j!
½ (j−1)!
j!
1 = si j>0,
j
0 si j =0,
1
j ∇j yi+1 = hf(ti+1, yi+1),
que se conocen como las fórmulas BDF. Por ejemplo, si p =2,
hf(ti+1, yi+1) =
2X
j=1
= gj(s),
1
j ∇j yi+1 = ∇yi+1 + 1
2 ∇2 yi+1
= yi+1 − yi + 1
2 (yi+1 − 2yi + yi−1)
= 3
2 yi+1 − 2yi + 1
2 yi−1,
y como vemos es de dos pasos.
Como estos métodos son implícitos, de igual manera que pasaba con los métodos de Adams
implícitos, el tamaño de paso h debe ser elegido para que el método iterativo sea convergente con
constante de Lipschitz menos que uno. En cuanto al error de truncamiento local, puede probarse
queesdeordenO(h p+1 ).
3.7 Metodos predictor—corrector
Los métodos de predictor corrector se basan en utilizar alternativamente métodos multipaso explícitos
e implícitos de un mismo orden para aproximar la solución. El método explícito se usa para obtener
la condición inicial con la que obtener el mediante un método iterativo, una mejor aproximación con
el método implícito.
Por ejemplo, consideramos como predictor el método explícito
y como corrector, consideramosdeentrelafamilia
yi+1 = −4yi +5yi−1 +4hyi +2hyi−1, (3.4)
yi+1 = a0yi + a1yi−1 + hb−1f(ti + h, yi+1)+hb0f(ti, yi)+hb1f(ti − h, yi−1),
dados por el sistema ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
a0 =1− λ,
a1 = λ,
b−1 = 5 − λ,
12
b0 = 2 − 3λ, 3
b1 = − 1
12 +5λ,
58
λ ∈ R.