Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Introducción a las ecuaciones diferenciales
entendemos por un problema de condiciones iniciales para sistemas de ecuaciones diferenciales. Dicho
problema es un sistema de ecuaciones diferenciales
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y 0 1 = f1(x, y1,y2, ..., ym);
y 0 2 = f2(x, y1,y2, ..., ym);
.
y 0 m = fm(x, y1,y2, ..., ym);
y1(x0) =y1,y2(x0) =y2,...,ym(x0) =ym
junto con las condiciones yi(x0) =yi, donde x0,y1,y2, ..., ym son números reales. Por ejemplo
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y 0 1 = xy1 + y 2 2 − y3;
y 0 2 = x + y1 + y2y3;
y 0 3 = y1y2y3;
y1(0) = 2,y2(0) = 0,y3(0) = 1,
es un problema de condiciones iniciales. Nótese que todas las condiciones iniciales implican el conocimiento
de la función en 0, es decir, lo siguiente
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y 0 1 = xy1 + y 2 2 − y3;
y 0 2 = x + y1 + y2y3;
y 0 3 = y1y2y3;
y1(0) = 2,y2(1) = 0,y3(0) = 1,
no sería un problema de condiciones iniciales, ya que conocemos y2 en 1 e y1 e y3 en 0.
Para el caso de los problemas de condiciones iniciales para sistemas de ecuaciones diferenciales
tenemos el siguiente resultado análogo al de ecuaciones diferenciales de orden uno, cuya prueba puede
verse en [Jim], aunque pensamos que ésta es de un nivel excesivo para alumnos de primer curso.
Theorem 1 Sea el problema de condiciones iniciales
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y 0 1 = f1(x, y1,y2, ..., ym);
y 0 2 = f2(x, y1,y2, ..., ym);
.
y 0 m = fm(x, y1,y2, ..., ym);
y1(x0) =y1,y2(x0) =y2,...,ym(x0) =ym
donde (x0,y1, ..., ym) ∈ A, fi : A ⊆ R1+m → R, 1 ≤ i ≤ m, son funciones reales continuas en el
abierto A. Supongamos además que las funciones ∂fi existenysoncontinuasenA. Entoncesexiste
∂yj
una solución del problema de condiciones iniciales anterior yi : I → R, 1 ≤ i ≤ m, definido en un
intervalo abierto I de la recta real.
Este resultado es fácil de aplicar. Por ejemplo el problema que consideramos anteriormente
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y 0 1 = xy1 + y 2 2 − y3;
y 0 2 = x + y1 + y2y3;
y 0 3 = y1y2y3;
y1(0) = 2,y2(0) = 0,y3(0) = 1,
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